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#1 15-06-2008 11:48:05

sofia4ever
Membre
Inscription : 15-06-2008
Messages : 2

Topologie [Résolu]

bjr ya qqn ki peux maider à résoudre cet exercice en topologie??
1/SI E et F 2 e.v.n  et f:E___Fune application linéaire.Mq si fest continue en 0 alors il existe c supérieur à 0 telle que:
//f(x)// inférieure ou egale à c//x//
       F                             E

2/sI E1 et E2  et F 3 e.v.n et f:E¹× E2___F une application Bilinéaire.Mq si F EST continu en (0;0) alor il existe c supérieur à 0 telle que:
  //f(x;y)// inférieur ou égal à //x// .//y// 
           F                                     E      E
                                                  1       2

Edit@Galdinx : j'ai modifié le titre, on se doute bien que tu veux de l'aide si tu postes ici...

Dernière modification par galdinx (15-06-2008 20:56:33)

Hors ligne

#2 15-06-2008 18:03:19

Barbichu
Membre actif
Inscription : 15-12-2007
Messages : 405

Re : Topologie [Résolu]

Hello,
1/ a) utiliser la définition de la continuité pour récupérer [tex]a>0[/tex] tel que si [tex]||x|| \leq a[/tex] alors [tex]||f(x)|| \leq 1[/tex]
    b) Soit x non nul dans E, on pose [tex]y= \frac{ax}{||x||}[/tex], conclure.

2/ remarquer qu'il y a isomorphisme entre [tex]\mathcal{L}(E_1\times E_2,F)[/tex] et [tex]\mathcal{L}(E_1,\mathcal{L}(E_2,F))[/tex]
donné par [tex]\varphi\, :\, f \mapsto g[/tex] avec [tex]g\, :\, x \mapsto f_x[/tex] et [tex]f_x\, :\, y \mapsto f(x,y)[/tex]
[tex]g[/tex] est donc dans [tex]\mathcal{L}(E_1,\mathcal{L}(E_2,F))[/tex] et [tex]f_x[/tex] dans [tex]\mathcal{L}(E_2,F)[/tex]

Et se rendre compte (comme application de 1) ) que pour h dans [tex]\mathcal{L}(E_2,F)[/tex] l'application [tex]|||\cdot|||[/tex] définie par [tex]|||h||| = \displaystyle\sup_{||y||=1} ||h(y)||[/tex] est une norme sur [tex]\mathcal{L}(E_2,F)[/tex].
Cette norme vérifie, pour tout y de E_2 [tex]||h(y)|| \leq |||h|||\cdot||y||[/tex]

Utilisons cette propriété sur [tex]f_x(y)[/tex]. On a donc [tex]||f_x(y)|| \leq |||f_x|||\cdot ||y|| = |||g(x)|||\cdot ||y||[/tex]
Et utilisons 1) sur [tex]g[/tex] pour trouver c tel que [tex]|||g(x)||| \leq c ||x||[/tex]
En mettant boût à boût on a [tex]||f(x,y)|| = ||f_x(y)|| \leq c ||x||\cdot ||y||[/tex]

NB : la méthode pour le 2 est un peu élaborée et si quelqu'un trouve une solution ad-hoc je suis preneur.
++


Barbichu

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