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pampouna302

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espace vectoriel[Résolu]

Bonjour a vous tous!
je viens de me bloquer dans une question de cet exercice, pouvez vous maider svp?
voila lenoncé:
soient E un Kespace vectoriel de dimension finie n>=3.soit F un sous_espace vectoriel de E, de dimansion n-2.
soit G un supplementaire de F dans E.
1)dimG=?
2)soient (u,v) une base de G et w appartien a F.
soit G'=< u+w, v+w> les sous-espace vectoriel de E, engendré par u+w et v+w.
chercher dimG'=??
apres montrer que E= a la somme directe de F et G'.
jme bloque dans la derniere question! pouvez vous meclercir svp? jai essaye de la faire a l'aide du theoreme de la base incomplete mais en vain...merci davance!

Fred

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Re : espace vectoriel[Résolu]

Salut,

  Il y a deux choses dans la deuxième question :
*montrer que dim(G')=2 : j'ai l'impression que tu l'as fait.
*montrer que E est la somme directe de F et G.

Si on montre que F et G sont en somme directe, alors F+G est de dimension (n-2)+2=n
et donc F+G=E puisque l'un est inclus dans l'autre et qu'ils ont même dimension.
Prenons donc x dans F inter G.
x s'écrit a(u+w)+b(v+w), d'où
x-(a+b)w=au+bv. Le membre de droite est dans F, celui de gauche dans G, donc ils sont tous deux nuls.
Ainsi au+bv=0, d'où a=b=0 car (u,v) est une base de G.
Donc x=0, et F et G sont bien en somme directe.

Fred.

pampouna302

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Re : espace vectoriel[Résolu]

salut!
je mexcuse mais la question de lexercice nous demande de demontrer que F et G' sont en somme directe et non pas F et G.
amon avis je crois quon doit utiliser le theoreme de la base incomplete, mais jnarrive pas toujours a sortir de ce probleme!jme bloque!pouvez vous meclaircir davantage?
Merci davance!

tibo

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Re : espace vectoriel[Résolu]

Bonjour,

Fred, n'aurais tu pas omis quelques ' aux G?

En fait, pour montrer que F et G' sont en somme direct, il suffit de montrer que F inter G'={0}
Ce qu'a démontré Fred (J'aurais un peu plus détaillé, mais si on connais son cours, c'est compréhensible)

Dernière modification par tibo95640 (15-05-2008 22:57:47)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !