Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 25-11-2017 17:44:48

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 7

convergence

Bonjour,
je révise le chapitre sur la convergence dans l'espace des distributions et j'ai l'exercice qui suit: étudier la convergence dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$ de la suite donnée par $f_n(x)= \dfrac{n}{1+n^2x^2}$.
J'ai essayé une solution: vu que $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ alors elle est $L^1_{loc}(\mathbb{R})$ et définie une distribution par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): <f_n,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{n}{1+n^2x^2} \varphi(x) dx
$$
J'essaye d'appliquer le théorème de convergence dominée, mais j'hésite: est ce que je l'applique sur $f_n$ ou bien sur $f_n \varphi$?
Merci d'avance

Dernière modification par uni (25-11-2017 19:38:45)

Hors ligne

#2 25-11-2017 20:46:50

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : convergence

Bonsoir

  J'ai bien peur que le théorème de convergence dominée ne te permette pas de conclure. As tu déjà vu le concept d'unité approchée ou d'approximation de l'identité ?

F.

En ligne

#3 25-11-2017 21:13:28

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 7

Re : convergence

Non mais en faisant des recherches j'ai trouvé ceci: http://fracademic.com/dic.nsf/frwiki/121716
comment ce concept peut nous aider à calculer la limite? Je t'en pris.
J'ai oublié mon autre question: pourquoi ce n'est pas crrecte d'appliquer la convergence dominée à la suite $f_n \varphi$? Voici ce que je pensais faire: on fait un changement de variables $y=nx$ qui implique
$$
<f_n,\varphi>=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{1+y^2} \varphi(\dfrac{y}{n}) dy
$$
d'un côté, $\dfrac{1}{1+y^2} \varphi(\dfrac{y}{n})$ converge simplement vers $\dfrac{1}{1+y^2} \varphi(0)$ et d'un autre côté $|\dfrac{1}{1+y^2} \varphi(\dfrac{y}{n})| \leq \sup|\varphi| |\dfrac{1}{1+y^2}| \in L^1(\mathbb{R})$.
On conclut par le théorème de convergence dominée que $\lim_{n \to +\infty} <f_n,\varphi>= \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{1+y^2} \varphi(0) dy.$ Pourquoi c'est faux?

Dernière modification par uni (25-11-2017 21:26:02)

Hors ligne

#4 25-11-2017 21:43:20

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : convergence

Non, ce n'est pas faux une fois que tu as fait le changement de variables, tout va bien!
En plus, la dernière intégrale, tu peux la calculer.
Le concept d'unité approchée t'aiderait à trouver la limite car, à multiplication par une constante près, la suite $(f_n)$ est une unité approchée.
Et ce que tu calcules est le produit de convolution de $f_n$ par $\varphi$, évalué en 0.

F.

En ligne

#5 25-11-2017 21:45:32

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 7

Re : convergence

As tu un exemple de l'étude de la convergence dans $\mathcal{D}'$ par ce concept pour que je puisse l'appliquer?

Hors ligne

#6 25-11-2017 21:56:52

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : convergence

L'exercice 11 de cette feuille correspond à cela, avec une hypothèse un peu plus forte que dans ton cas.

En ligne

#7 26-11-2017 07:44:14

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 7

Re : convergence

Bonjour,
j'ai fait l'exercice et il s'agit en fait d'utiliser une fonction régularisante. Le hic est que dans l'exercice 11 la suite f est donnée, tant dit que dans mon exercice on ne connais pas encore la limite. Comment je peux utiliser une suite régularisante sans connaître la limite?

Hors ligne

#8 26-11-2017 20:03:53

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : convergence

Bonsoir,

  Je ne comprends pas trop ce que tu veux dire par "il s'agit en fait d'utiliser une suite régularisante".
Ici, ta suite $(f_n)$ est une suite régularisante et la méthode de l'exercice 11 (qu'il faudrait adapter légèrement parce que les hypothèses y sont un tout petit peu plus restrictives) te montrent comment tu pourrais faire également avec la suite $(f_n)$.

Plus généralement, si $(g_n)$ est une suite régularisante, et si $\varphi$ est une fonction continue par morceaux, alors $g_n\star\varphi(x)\to\varphi(x)$ pour tout $x$. Et (au moins si $(g_n)$ est paire), on a $g_n\star \varphi(0)=\langle g_n,\varphi\rangle$.

F.

En ligne

#9 26-11-2017 22:25:50

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 7

Re : convergence

Pardonnes moi mais je rame tout d'un coup.  Tout d'abord, la suite $(f_n)$ n'est pas $L^1(\mathbb{R})$, pourquoi elle est régularisante? Ensuite c'est possible de m'écrire le début du calcul car je n'arrive vraiment pas à adapter l'idée de l'exercice 11 à mon cas.

Hors ligne

#10 29-11-2017 11:13:06

uni
Membre
Inscription : 25-11-2017
Messages : 7

Re : convergence

Je ne vois vraiment pas comment appliquer la convolution pour étudier cette convergence. Tu peux m'aider stp

Hors ligne

#11 29-11-2017 12:03:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 754

Re : convergence

Bonjour,

  Je n'ai pas vraiment le temps d'écrire tous les détails qui sont assez classiques. Cependant :
- Ta fonction $(f_n)$ est une fonction de $L^1(\mathbb R)$
- Concernant le théorème sur les suites régularisantes dont je te parle, il est démontré dans ces notes, c'est le théorème 3.12.

Attention, ici la suite $(f_n)$ n'est une suite régularisante qu'après multiplication par une constante, car $\int_{\mathbb R}f_n\neq 1$.

F.

En ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante ?73 - 50
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums