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GJzarbi93

Invité

Espace vectoriel

Bonjour, j'ai besoin d'aide s'il vous plaît pour mon devoir maison. C'est assez important. Voilà l'exercice:

Soit l'application f: R^3 --> R^3 définie par f(x,y,z) = (x+y+z, -x-2z, y-z) .
1. Montrer que f est une application linéaire.
2. Trouver l'image et le noyau de f.
3. Déterminer leur base et leur dimension.

Voilà ce que j'ai fait:
f est bien une application linéaire de R^3 dans R^3.
L'image de f st Imf= Vect {(1,-1,0); (1,0,1); (1,-2,-1)}
Le noyau de f est Kerf= Vect {(-2,1,1)}.

Ce qui bloque: Trouver la dimension est facile mais pour ce qui est de la base, c'est plus difficile. Trouver la base revient à trouver que la famille est libre donc à prouver que Imf=Vect {(1,-1,0); (1,0,1); (1,-2,-1)} est libre et que Kerf=Vect {(-2,1,1)} est libre. Le problème est que je suis bloquée car j'arrive sur une ligne, en faisant mon système à:
0=0
t_{1} = -2*t_{3}
t_{2}=t_{3}

Ah oui, une famille qui possède un vecteur est-il forcément libre?
Merci d'avance.

Fred

Administrateur

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Re : Espace vectoriel

Bonjour

  La famille (1,-1,0),(1,0,1),(1,-2,-1) n'est pas libre. On peut facilement écrire le 3ème vecteur en fonction des deux premiers.
  Pour le noyau effectivement une famille constituée d'un seul vecteur et qui n'est pas le vecteur nul est libre.

F