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#1 31-10-2017 21:37:39

sbl_bak
Membre
Inscription : 01-08-2016
Messages : 130

produit infini

Bonjour,

J'aurai besoin d'aide pour l'étude de la converge de  $p_N = \prod_{n=2}^{N} (1-\frac{1}{n²})$ en utilisant des arrangement sur le produit infini.
Je vous avoues que j'ai du beaucoup de mal à travailler avec les produits infini.
De plus, auriez vous des liens web sur un cours élémentaire sur la manipulation des $\prod$?
merci d'avance pour les conseils.

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#2 31-10-2017 21:54:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : produit infini

Bonjour,

  Je ne sais pas ce que cela veut dire "des arrangements" sur le produit infini. Dans le cas qui t'intéresse, c'est assez simple!

Etudier la convergence de $p_N$, c'est pareil que d'étudier la suite $\ln(p_N)$. Mais
$$\ln(p_N)=\sum_{n=2}^N \ln\left(1-\frac 1{n^2}\right).$$
Tu te ramènes donc à étudier la convergence d'une série.
Il est très simple de vérifier ici que cette série converge, grâce à un équivalent du terme général.

F.

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#3 01-11-2017 10:43:45

sbl_bak
Membre
Inscription : 01-08-2016
Messages : 130

Re : produit infini

Bonjour,

Effectivement, en passant par le log on étudie directement la convergence de la série
car $p_N = exp(\sum log(p_N)$ d’où $log(p_N)=\sum_{n=2}^N \ln(p_N)$

Donc on a $log(1-1/n²) = -1/n² + o(1/n²)$ d’où la convergence de la série.

Ce que je voulais dire par arrangement c'est de travailler sur le produit infini sans utiliser le log (effectivement ce n'est pas clair dans mon premier post).

J'ai la correction que je ne comprends pas, qui est :

$p_N = \prod_{n=2}^{N} (1-\frac{1}{n²}) = \prod_{2}^{N}(n-1)\prod_{2}^{N}(n+1)\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²} =\prod_{1}^{N-1}n \prod_{3}^{N+1}n\prod_{2}^{N}\frac{1}{n²}$, jusqu'à la tout va bien mais je ne sais pas exploiter les 3 produits infinis

Merci pour votre aide

Dernière modification par sbl_bak (01-11-2017 15:32:48)

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#4 01-11-2017 18:22:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : produit infini

En fait, tu as plein de simplifications dans ces 3 produits. Si tu écris cela sans les produits infinis, mais avec des pointillés, tu as

$$p_N=\frac{(1\times 2\times \cdots\times N-1)\times(3\times 4\times\cdots \times N+1)}{(2\times 3\times\cdots\times  N)\times (2\times 3\times\cdots\times N)}.$$

Vois-tu mieux les simplifications que tu peux faire??

F.

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#5 02-11-2017 20:11:32

sbl_bak
Membre
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Messages : 130

Re : produit infini

Bonjour,

Je vois la simplification, ce qui donne : $p_N=\frac{N+1}{2N}$ d’où la convergence de$p_N$ vers 1/2.
Il y a convergence strict.

Par contre avec la méthode "Log" on obtient un équivalent à $1/n²$ ce qui montre que la série convergence vers 0.

donc à partir $p_N=exp(\sum_{n=2}^N \ln\left(1-\frac 1{n^2}\right)).$ $p_N$ converge vers 1.

Donc deux valeurs il y a une erreur quelque part, et je pense que je n'ai pas bien exploité le Log.

Merci d'avance

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#6 02-11-2017 20:21:24

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : produit infini

Non ça ne veut pas dire que la série converge vers zero ça veut simplement dire qu'elle converge !

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#7 02-11-2017 20:46:04

sbl_bak
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Re : produit infini

Effectivement c'est clair.
On peut conclure que l'approche "par le Log" nous donne une information seulement de convergence du produit.
Tandis que le calcul direct permet de calculer la valeur est d'affirmer la convergence strict ou pas.

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#8 02-11-2017 21:16:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : produit infini

Oui c'est cela. Mais il faut bien dire que c'est assez rare que l'approche directe donne un résultat. On a vraiment eu de la chance qu'il y ait autant de simplifications !

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#9 03-11-2017 16:34:11

sbl_bak
Membre
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Messages : 130

Re : produit infini

Bonjour,

Vous trouverez un autre exemple : $\prod_{k\geq 1} \frac{k³-1}{k³+1}$,
1- montrer que le produit est strictement convergent ou non.
2 - s'il converge alors calculer la valeur si possible.

1 ) Je vais donc utiliser le Log.

$\ln(p_N)=\sum_{n=2}^{N} \ln(\frac{k³-1}{k³+1}) = ln(1-1/k³) - ln(1+1/k³)$

Pour n assez grand nous avons
$ln(1-1/k³) = -1/k³ + o(1/k³)$
$ln(1+1/k³) = 1/k³ + o(1/k³)$

d’où $ ln(1-1/k³) - ln(1+1/k³) = -2/k³ +o(1/k³)$ , conclusion $\sum_{n=2}^{N} \ln(\frac{k³-1}{k³+1})$ converge.

D’où la convergence de $\prod_{k\geq 1} \frac{k³-1}{k³+1}$. La convergence n'est pas stricte.

2) Je ne vois pas comment calculer la valeur (d'ailleurs est ce possible ? comme l'annoncé l’énoncé)

Merci d'avance

Dernière modification par sbl_bak (03-11-2017 16:35:19)

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#10 03-11-2017 16:41:11

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 703

Re : produit infini

Bonjour,

  Si le produit part bien de 1, alors il vaut $0$ car $k^3-1=0$ pour $k=1$....
Ca veut dire quoi la convergence n'est pas stricte????

F.

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#11 03-11-2017 17:12:26

sbl_bak
Membre
Inscription : 01-08-2016
Messages : 130

Re : produit infini

Merci pour la réponse.
Effectivement le produit ne part pas de 1 mais de 2, d'ou l'étude par le log;

Alors strictement convergent cela signifie par définition :
Soit $(u_k)_k$ une suite de $\mathbb{C*}$. Pour $n\geq 1$, on pose $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$.
Si la suite $(p_n)_{n\geq 1}$ converge dans  $\mathbb{C*}$, on dit que le produit infini $p_n = \prod_{1\leq k \leq n}u_k$ est strictement convergent et on pose

$\displaystyle\prod_{k\geq 1}u_k = lim_ {n} p_n$

Je vous avoues, je suis un peu perdu dans l'étude de la convergence des produit infini

Dernière modification par sbl_bak (03-11-2017 17:13:58)

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