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#1 30-10-2017 17:34:45

bib
Membre
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Fonction test

Bonjour,
Dans la question soit $\psi \in \mathcal{D}(\R)$ prouver qu'il existe $\varphi \in \mathcal{D}(\R)$ solution de $\varphi'+\varphi=\psi$ je pense qu'on s'est trompé dans les conditions pour que $\varphi$ soit à support compact.
On a trouver que la solution générale de l'équation est
$$
\varphi(x)= C e^{-x}+ e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
et puisque $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$ alors on peut écrire
$$
\varphi(x)= C e^{-x}+ e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
où $C$ est une constante quelconque.
Ma question est: s'il vous plaît, qu'est ce qu'il faut écrire exactement pour voir quand $\varphi$ est à support compact?

Dernière modification par bib (30-10-2017 17:56:49)

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#2 30-10-2017 18:21:01

Fred
Administrateur
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Messages : 4 701

Re : Fonction test

Prouve d'abord que C=0 en faisant  $ x=-a $ puis trouve une condition nécessaire en faisant $ x=a $ .

F

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#3 30-10-2017 18:27:43

bib
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Re : Fonction test

Donc pour trouver la condition, on passe par deux étapes:
$\varphi(-a)$ doit être 0 donc $\varphi(-a)=C e^{-a}+ e^{-a} \displaystyle\int_{-a}^{-a} e^s \psi(s) ds=0$ implique que $C=0$
et
$\varphi(a)$doit être 0 donc $\varphi(a)= e^a \displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$ la condition est $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds$.
Donc pour que $\varphi$ soit à support compact, il est nécessaire que $C=0$ et $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$.
Mais ce n'est pas une condition suffisante.
C'est correct?
Si oui, est-ce qu'on peut trouver une condition suffisante?

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#4 30-10-2017 18:37:28

Fred
Administrateur
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Re : Fonction test

bib a écrit :

Donc pour trouver la condition, on passe par deux étapes:
$\varphi(-a)$ doit être 0 donc $\varphi(-a)=C e^{-a}+ e^{-a} \displaystyle\int_{-a}^{-a} e^s \psi(s) ds=0$ implique que $C=0$
et
$\varphi(a)$doit être 0 donc $\varphi(a)= e^a \displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$ la condition est $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds$.
Donc pour que $\varphi$ soit à support compact, il est nécessaire que $C=0$ et $\displaystyle\int_{-a}^a e^s \psi(s) ds=0$.
Mais ce n'est pas une condition suffisante.

Ah bon, pourquoi???

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#5 30-10-2017 18:48:51

bib
Membre
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Re : Fonction test

Pourquoi c'est faux? S'il vous plaît.
Et j'ai aussi un autre problème. La solution générale est en fait
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
Avant de poster j'ai passé des semaines pour trouver la condition et là je suis complétement perdue. S'il vous plaît donnez moi les grandes lignes pour trouver ces conditions pour lesquels $\varphi$ est à support compact, j'ai vraiment besoin de comprendre et je n'ai pas d'exemple bien fait sous la main. Merci par avance pour votre aide.

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#6 30-10-2017 19:03:16

Fred
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Re : Fonction test

bib a écrit :

S'il vous plaît donnez moi les grandes lignes pour trouver ces conditions pour lesquels $\varphi$ est à support compact

C'est exactement ce que je suis en train de faire, non?????

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi tu dis que la condition n'est pas suffisante!!!

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#7 30-10-2017 19:16:15

bib
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Re : Fonction test

Ah alors c'est bon? Merci beaucoup.
Mais j'ai une question qui me gêne. On a supposé que $Supp(\psi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$.
La solution générale est de la forme
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
1. Comment expliquer le passage à l'écriture
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
2. Pourquoi on pose les conditions selon les bornes du compact $[-a,a]$ qui contient $Supp(\psi)$?
S'il vous plaît.

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#8 30-10-2017 20:02:25

Fred
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Re : Fonction test

bib a écrit :

Ah alors c'est bon? Merci beaucoup.
Mais j'ai une question qui me gêne. On a supposé que $Supp(\psi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$.

$\psi$ ou $\varphi$???

La solution générale est de la forme
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{x_0}^x e^s \psi(s) ds
$$
1. Comment expliquer le passage à l'écriture
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$

Tu peux prendre pour $x_0$ n'importe quelle valeur. Pourquoi pas $a$???

F.

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#9 30-10-2017 20:14:07

bib
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Re : Fonction test

Non c'est $Supp (\psi) \subset [-a,a]$ et je cherche à montrer que $\varphi$ donnée par
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
où $C= e^a$ (j'ai pris en compte votre dérnière remarque)
est à support compact.
Comment on fait exactement? S'il vous plaît.

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#10 30-10-2017 20:25:29

Fred
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Re : Fonction test

Qu'est-ce qui ne te plait pas dans ce qui a été dit plus tôt??????
Tu supposes que $\varphi$ est à support compact, disons dans $[-b,b]$ avec $b\geq a$. Tu regardes ce que ça fait en $-b$ pour déduire que $C=0$, puis en $b$ etc.....

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#11 30-10-2017 20:33:22

bib
Membre
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Re : Fonction test

La solution générale est
$$
\varphi(x)= C e^{-x} + e^{-x} \displaystyle\int_{-a}^x e^s \psi(s) ds
$$
avec $C=e^a$ (en appliquant la méthode di facteur intégrale)
Si on veut que $\varphi$ soit à support compact, il faut que $Supp(\varphi) \subset [-M,M]$ avec $M > 0$.
$\varphi(-M)=0$ implique que $C e^{-M}=0$ qui implique que $C=0$ mais cela n'est pas possible puisque $C=e^{-a}$! Donc que faire?

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#12 30-10-2017 21:17:55

Fred
Administrateur
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Re : Fonction test

Mais pourquoi donc  $ C=e^a $???

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#13 30-10-2017 21:23:33

bib
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Re : Fonction test

Aaaaah non je suis idiote. Tout va bien, je m'étais trompé. $C=e^{-a} \varphi(-a)$.
Donc la méthode de mon poste est la bonne?

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#14 30-10-2017 21:48:18

Fred
Administrateur
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Messages : 4 701

Re : Fonction test

C'est ce que j'essaie de te dire depuis un bon moment. Sauf que la condition est aussi suffisante (ne me demande pas pourquoi d'ici 5 minutes, je suis sûr que si tu réfléchis un peu, tu trouveras seule).

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