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#1 24-10-2017 11:20:34

oussama96
Invité

systeme differentielle

Bonjour tout le monde,

On considère le système (S) d'équations différentielles suivant:
x′(t) = x(t) + 2y(t) + 1
y′(t) = −3x(t) − 3y(t) + z(t) − exp(t)
z′(t) = 2x(t) + 2y(t) − z(t) + 2exp(t)

comment résoudre ce probleme on utilisant la méthode d'exponentielles d'une matrice ?

merci d'avance

#2 24-10-2017 16:10:22

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 978

Re : systeme differentielle

Bonsoir,
Je ne suis pas un spécialiste, mais par analogie avec le cas dim=1, tu peux écrire $X'_t = AX_t + \beta$ où $X_t$ désigne le vecteur $\left(x(t), y(t), z(t)\right)^T$, $A$ une matrice $3\times 3$ et $\beta$ un vecteur non dépendant de $X_t$ ($\left(1, -e^t, 2e^t\right)$ dans ton cas).
La solution de l'équation homogène $X'_t = AX_t$ est de la forme $X_t = exp(At)$.

Voir ici pour une discussion sur l'exponentielle d'une matrice.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

Hors ligne

#3 25-10-2017 07:57:29

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : systeme differentielle

Bonjour,

  Comme le dit Yassine, le point clé est de calculer l'exponentielle de la matrice $A$. Ceci est facilité ici par le fait que son polynôme caractéristique est $(X+1)^3$. Ainsi, par le théorème de Cayley-Hamilton, on a $(A+I_3)^3=0$. On écrit ensuite $tA=t(A+I_3)-tI_3$ et donc, puisque les deux matrices commutent, $\exp(tA)=\exp( t(A+I_3))\exp(tI_3)$. Le calcul de la première exponentielle est facile en utilisant la série car, avec la relation $(A+I_3)^3=0$, on ne doit garder que deux termes.

Cet exercice est très proche de ce que tu dois faire. Son corrigé est détaillé.

F.

Hors ligne

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