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#1 23-10-2017 15:40:52

bib
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construction d'une fonction test

Bonjour,
j'ai la question suivante: est-ce qu'on peut construire une fonction test $\psi \in \mathcal{D}(]-1,1[)$ telle que $\psi'(x) \geq 0$ quelque soit $x \in ]-1,1[$?
Ma réponse est la suivante: puisque $\psi$ est une fonction test sur $]-1,1[$ alors $\psi(-1)= \psi(1)=0$ et $\psi' \geq 0$ veut dire que $\psi$ est croissante, donc $\psi=0$.
Est-ce que cette réponse est complète? Ou bien pouvez vous me proposez un autre raisonnement s'il vous plaît.

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#2 23-10-2017 19:08:41

Fred
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Re : construction d'une fonction test

Le raisonnement est correct.

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#3 23-10-2017 19:45:58

bib
Membre
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Re : construction d'une fonction test

Merci. S'il vous plaît, comment raisonner pour répondre à la question: est-ce qu'on peut construire une fonction test $\psi \in \mathcal{D}(]-1,1[)$ telle que $\psi'$ ne s'annule pas sur $]-1,1[$?

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#4 23-10-2017 20:00:59

Fred
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Re : construction d'une fonction test

Je ne comprends pas. Tu as donné la réponse non? La seule fonction qui convient est la fonction nulle!

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#5 23-10-2017 21:01:00

bib
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Re : construction d'une fonction test

Dans la première question, j'ai utilisé l'hypothèse que $\psi' \geq 0$ pour conclure que $\psi=0$. Mais la deuxième question je n'ai plus cette hypothèse, alors comment on raisonne?

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#6 24-10-2017 05:18:25

Fred
Administrateur
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Re : construction d'une fonction test

Est ce que ton hypothèse n'impliquerait pas que  $ \psi'\geq0 $ ou  $ \psi'\leq0 $ sur ]-1,1[ ?

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#7 24-10-2017 12:49:01

bib
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Re : construction d'une fonction test

Donc on dit ceci: on suppose par l'absurde qu'on peut construire une fonction test $\psi \in \mathcal{D}(]-1,1[)$ telle que $\psi' \neq 0$. ça signifie que ou bien $\psi' \geq 0$ ou bien $\psi' \leq 0$. Dans le cas où $\psi' \geq 0$ alors $\psi=0$ et le même raisonnement est pour le cas où $\psi' \leq 0$ on ne peut pas construire car $\psi$ est décroissante et nulle en $1$ et $-1$ donc la seule fonction est $\psi=0$.

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#8 25-10-2017 18:39:29

bib
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Re : construction d'une fonction test

En fait mon précédent raisonnement est faux.
Pourquoi il n'est pas possible de construire une fonction de classe $C^\infty$ sur $]-1,1[$ qui est nulle en $1$ et $-1$ et qui garde un signe constant? S'il vous plaît.

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#9 25-10-2017 18:48:43

Fred
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Re : construction d'une fonction test

C'est la fonction ou la dérivée qui garde un signe constant ?

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#10 25-10-2017 18:53:37

bib
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Re : construction d'une fonction test

Si $\forall x \in ]-1,1[: \psi' (x) \neq 0$, alors ça implique que $\psi$ ne change pas de signe. Non?

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#11 25-10-2017 19:50:54

Fred
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Re : construction d'une fonction test

Pas du tout ! Pense à la fonction  $ x $ .

Je ne vois pas en quoi ton raisonnement du post 7 est faux !

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#12 01-11-2017 19:42:32

bib
Membre
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Re : construction d'une fonction test

Une dérnière question. On a $\varphi' + \varphi = \psi$. Si on suppose que $Supp (\psi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$ et $Supp (\varphi) \subset [-M,M]$ avec $M >0$. Est-ce que $Supp(\psi) \subset Supp(\varphi)$ ou bien c'est le contraire? Comment argumenter? S'il vous plaît.

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