Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 22-10-2017 19:20:06

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

ordre de vp 1/x

Bonsoir,
on définit la valeur principale $vp \dfrac{1}{x}$ par
$$
\forall \varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}): \langle vp \dfrac{1}{x}, \varphi\rangle=
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
= \displaystyle\int_{-a}^a \psi(x) dx
$$
où $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$, en sachant que $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$
Pour montrer que l'ordre de $vp 1/x$ n'est pas 0, il suffit de montrer qu'il existe un compact $L$ de $\mathbb{R}$ tel que pour toute constante $C$, on a: $\exists \varphi \in \mathcal{D}_L(\mathbb{R}): |\langle vp \dfrac{1}{x}| > C \sup_{x \in L} |\varphi(x)|$
Pour ça j'ai trouvé l'exemple suivant: on construit une suite de fonctions plateaux $(\varphi_n)$. On pose $L=[-2,2]= Supp(\varphi_n)$.
Il suffit de construire $(\varphi_n)$ tel que $\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> \to +\infty$ et $C ||\varphi_n||_{\infty} < +\infty$.
On a
$$
<vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> = \displaystyle\int_{-a}^a \psi_n(x) dx
= \displaystyle\int_{-a}^{a_n} \psi_n(x) dx + \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx + \displaystyle\int_{b_n}^a
$$
Puisque $\psi_n$ est continue, on choisit $0 < c_n < a_n$ et $d_n > b_n$ tels que $\psi_n(x)=0, \forall x \in ]-a,c_n[ \cup ]d_n,a[$.
Donc
$$
<vp \dfrac{1}{x},\varphi_n> \geq \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx = \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \dfrac{\varphi_n(x)}{x} dx
$$
*** Question: pourquoi on a cette égalité $\displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \psi_n(x) dx = \displaystyle\int_{a_n}^{b_n} \dfrac{\varphi_n(x)}{x}$?
Merci par avance pour votre aide.

Hors ligne

#2 23-10-2017 08:15:04

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : ordre de vp 1/x

Sans savoir exactement ce que sont $a_n,\ b_n$ etc... on ne peut pas te répondre avec plus de précision que de dire que ça vient sans aucun doute de l'égalité $\varphi_n(x)=\varphi_n(0)+x\psi_n(x)$.

Hors ligne

#3 23-10-2017 08:43:08

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : ordre de vp 1/x

$a_n$ et $b_n$ sont censés être les bornes du compact $K$ surlequel la suite $(\psi_n)$ est égale à 1. Sinon alors pouvez vous me proposez un exemple de suite pour montrer que l'ordre n'est pas 1?

Hors ligne

#4 23-10-2017 10:45:12

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : ordre de vp 1/x

Donc la puisque $\varphi_n(x)=\varphi_n(0)+x\psi_n(x)$ et que $\varphi_n(0)=0$, ça répond à ta question!

Hors ligne

#5 23-10-2017 15:43:59

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : ordre de vp 1/x

S'il vous plaît j'ai deux questions:
1. pourquoi est-ce qu'on utilise une suite de fonctions testes comme contre exemple au lieu d'une seule fonction teste?
2. Quand on trouve que $<T,\varphi_n> \to +\infty$ quand $n \to +\infty$ et d'un autre côté $||\varphi_n||_{\infty} =1$. Qu'est ce qu'on écrit exactement pour montrer la contradiction? Est-ce qu'on passe à a limite? Je ne trouve pas comment conclure proprement.

Hors ligne

#6 23-10-2017 19:07:53

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : ordre de vp 1/x

1. Ce serait possible avec une seule fonction, mais la rédaction serait un peu plus compliquée.

2. Ben oui, on passe à la limite : si on avait pour tout $n$, $|\langle T,\varphi_n\rangle|\leq C\|\varphi_n\|_\infty$, on aurait qu'une suite tendant vers $+\infty$ serait majorée : impossible!

Hors ligne

#7 23-10-2017 19:41:29

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : ordre de vp 1/x

Moi j'ai trouvé que $<T,\varphi_n> > C ||\varphi_n||$ après qu'est ce qu'on dit? Est-ce qu'on dit que $\lim_{n \to +\infty} <T,\varphi_n> > C \lim_{n \to +\infty}||\varphi_n||$ ? ou bien on dit qu'à partir d'un certain rang $n_0 \in \mathbb{N}$ on a $<T,\varphi_n> > ||\varphi_n[|$?

Hors ligne

#8 23-10-2017 20:00:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : ordre de vp 1/x

Je ne comprends pas ce que tu as écrit.... relis ce que j'ai écrit, cela me semble assez clair (tu fais un raisonnement par l'absurde, ne l'oublie pas, donc tu supposes que T est d'ordre 0).

Hors ligne

#9 23-10-2017 20:03:44

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : ordre de vp 1/x

Oui j'ai raisonné par l'absurde. Je choisis une suite de fonctions testes $(\varphi_n)$. D'un côté on a $<T,\varphi_n> \to +\infty$ lorsque $n \to +\infty$ et d'un autre côté on a $||\varphi_n||_{\infty} < +\infty$.Jusque là c'est ok.
Ma question est: qu'est ce qu'on écrit exactement comme conclusion?

Dernière modification par bib (23-10-2017 20:04:28)

Hors ligne

#10 23-10-2017 20:05:39

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : ordre de vp 1/x

Je vais finir par m'énerver!!!!! Il y a 3 minutes entre ton post et le mien!!!! Ne me dis pas que tu as eu le temps de réfléchir entre les deux!!!!

Je t'ai dit de relire le point 2. de mon post #6. Qu'est-ce qui n'est pas clair là-dedans?????

Hors ligne

#11 23-10-2017 20:12:58

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : ordre de vp 1/x

Ok j'ai compris la conclusion. On écrit exactement ce qui est écrit dans votre post 6. Merci beaucoup pour l'aide.

Hors ligne

#12 23-10-2017 20:18:09

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : ordre de vp 1/x

J'ai une dernière question s'il vous plaît: est-ce qu'on a $\varphi_n()=0$ ou bien $\psi_n(0)=0$? Moi je pense qu'on a $\psi_n(0)=0$ mais comment ça implique que $\varphi_n(0)=0$?

Hors ligne

#13 23-10-2017 21:50:35

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : ordre de vp 1/x

ou bien je pense qu'on doit supposer que $\varphi_n(0)=0$ pour que ça marche

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le deuxième mot de cette phrase?

Pied de page des forums