Forum de mathématiques - Bibm@th.net

bib

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vp 1/x

Bonjour,
pour voir si la valeur principale de Cauchy est bien définie, ce qui revient à vérifier si la limite $\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$ existe, on commence d'abord par voir ce que vaut l'intégrale $\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. Comment et pourquoi on pense à ça? S'il vous plaît.

Fred

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Re : vp 1/x

Bonjour,

  Présenté comme cela, c'est très parachuté!!! Je vois plutôt les choses de la façon suivante : dans l'intégrale, il peut y avoir un problème en 0 et c'est important de savoir comment $\varphi$ se comporte en $0$. Pour cela, on réalise un développement de $\varphi$ en $0$. Le plus simple (mais il est très précis) est obtenu en utilisant le théorème fondamental du calcul intégral, c'est-à-dire en écrivant $\varphi(x)=\varphi(0)+\int_0^x \varphi'(u)du$. En faisant le changement de variables $u=tx$ dans ton intégral, on obtient l'intégral que tu décris. Mais en réalité, je crois que ce qui est important, c'est que l'on puisse écrire $\varphi(x)=\varphi(0)+x\psi(x)$, avec $\psi$ une fonction de classe $\mathcal C^\infty$.

F.

bib

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Re : vp 1/x

Si je comprend bien, on a pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$: $\langle vp \dfrac{1}{x},\varphi\rangle= \lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$.
On cherche à savoir si $vp \dfrac{1}{x}$ est une distribiution, et pour ça on commence par montrer qu'elle est bien définie, ce qui revient à voir si la limite de l'intégrale $\displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx$ existe.
Question 1: ici l'intégrale n'est pas définie en 0, alors pourquoi on chercherait s'il y a des problèmes en 0?

On utilise le théorème fondamentale du calcul intégrale qui permet d'écrire $\varphi(x)= \varphi(0)+ \displaystyle\int_0^x \varphi'(u) du$.
Quetion 2: qu'est ce qui nous amène ou nous fait penser à faire le changement de variable $u=x t$?

On a alors
$$
\displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx
+ \displaystyle\int_{|x|>\epsilon} \dfrac{t}{x} (\displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt) dx.
$$
Comment on conclut proprement? S'il vous plaît.

Fred

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Re : vp 1/x

Question1. Tu fais tendre epsilon vers 0 donc tu t'interesses quand même au comportement en 0.

Question 2. Tu fais des erreurs de calcul qui ne sont pas acceptables quand on étudie un sujet aussi avancé ! Tu as fait une erreur dans ton changement de variables  !

bib

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Re : vp 1/x

Oui pardon, j'ai fait une erreur de frappe. Je reprend.
On fait le changement de variable $u=tx$ avec $t \in [0,1]$, et on a ainsi: $\displaystyle\int_0^x \varphi'(u) du = x \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$. Donc on a
$$
\dfrac{\varphi(x)}{x}= \dfrac{\varphi(0)}{x}+ \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt
$$
on note $\psi(x)= \displaystyle\int_0^1 \varphi'(tx) dt$ et on a
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| > \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx
=
\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
J'ai deux questions s'il vous plaît.
1. Comment justifier le fait que $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$?
2. On a $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]= \displaystyle\int_{-a}^0 \psi(x) dx + \displaystyle\int_0^a \psi(x) dx= \displaystyle\int_{-a}^a \psi(x) dx$.
C'est bon?

Fred

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Re : vp 1/x

1. Tu peux calculer les deux intégrales!!!!
2. Oui, c'est bon.

bib

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Re : vp 1/x

Justement pour 1 c'est ce que j'ai fait, et j'obtiens ceci:
$$
\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]
=
\varphi(0). \lim_{\epsilon \to 0} [\ln(a)- \ln(\epsilon)+\ln(-\epsilon)-\ln(-a)]
$$
en sachant que $\lim_{\epsilon \to 0} \ln(\epsilon)=-\infty$, je suis un peu déroutée sur la façon dont tout ça nous donne la limite 0. Comment? S'il vous plaît.

Fred

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Re : vp 1/x

Oh!!!! $\ln(-\epsilon)$!!!!! Sur quel intervalle est défini le logarithme????

bib

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Re : vp 1/x

Je suis vraiment idiotte, j'ai oublié d'appliquer la relation $\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx = -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx$, donc le tout donne 0.

bib

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Re : vp 1/x

Quand il y a un problème en 0, on fait un développement de Taylor avec reste de Young par exemple, ou bien on utilise le théorème du calcul intégral pour connaître le comportement de la fonction en 0. Comment cela nous donne des informations sur le comportement de la fonction en 0? S'il vous plaît.

bib

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Re : vp 1/x

Je veux dire qu'il est clair qu'il y a un problème en 0 avec la fonction $\dfrac{\varphi(x)}{x}$ qui n'est pas définie en 0. Alors quelle information on espère trouver par un développement de Taylor ou bien l'utilisation du théorème de calcul intégrale? S'il vous plaît. Est-ce qu'on espère la disparition du $x$ au dénominateur?

Fred

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Re : vp 1/x

Le développement de Taylor permet de mettre en valeur les termes dominants de la fonction. On l'utilise jusqu'à cequ'il n'y ait plus de problèmes avec le reste.

bib

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Re : vp 1/x

et pour le théorème d'intégration? Quand est-ce que sait qu'il faut l'utiliser et qu'est ce qu'il nous donne? S'il vous plaît.

bobo

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Re : vp 1/x

une primitive de 1/x c'est ln(|x|) au passage.

bib

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Re : vp 1/x

Bonjour,
je panique un peu car j'ai un gros doute.
Dans le calcul
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| \geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
on a la règle suivante
$$
\displaystyle\int_{-a}^{-b} = - \displaystyle\int_b^a
$$
et c'est cette règle qu'on applique pour avoir $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$.
Mon problème est que si on applique cette règle pour calculer $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]$, on a
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx =
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx - \displaystyle\int_{\epsilon}^{a} \psi(x) dx=0.
$$
Or que ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Où est l'erreur? S'il vous plaît.

Fred

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Re : vp 1/x

Bonjour,
je panique un peu car j'ai un gros doute.
Dans le calcul
$$
\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{|x| \geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x} dx = \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]+ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]
$$
on a la règle suivante
$$
\displaystyle\int_{-a}^{-b} = - \displaystyle\int_b^a
$$

C'est quoi cette règle ? Si la fonction est x^2 tu en penses quoi ?

et c'est cette règle qu'on applique pour avoir $ \lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx]=0$.
Mon problème est que si on applique cette règle pour calculer $\lim_{\epsilon \to 0} [\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx]$, on a
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx + \displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \psi(x) dx =
\displaystyle\int_{\epsilon}^a \psi(x) dx - \displaystyle\int_{\epsilon}^{a} \psi(x) dx=0.
$$
Or que ce n'est pas ce qu'il faut trouver. Où est l'erreur? S'il vous plaît.

bib

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Re : vp 1/x

non, c'est parce que la fonction $\dfrac{1}{x}$ est symétrique alors on a $\displaystyle\int_{-a}^{-\epsilon} \dfrac{\varphi(0)}{x} dx = -\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x} dx$. Désolée pour la question idiotte, ce point est réglé.

Dernière modification par bib (23-10-2017 00:25:35)