Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#2 18-10-2017 23:43:32
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 035
Re : Preuve combinatoire
Bonjour,
Je ne sais pas si ce que je vais proposer est tout à fait combinatoire, mais voici ce qui me vient en tête :
j'écris $k\binom nk^2=k\binom nk\binom n{n-k}=n\binom{n-1}{k-1}\binom n{n-k}$ de sorte qu'il faut prouver que
$$\binom{2n}{n-1}=\sum_{k=1}^n \binom n {n-k} \binom{n-1}{k-1}$$
(pour le moment, ce n'est pas du tout combinatoire!). Mais là je dois sans doute être un peu fatigué car j'aurais bien remplacer le $2n$ par $2n-1$ pour compter de deux façons différentes le nombre de parties à $n-1$ éléments dans un ensemble à $2n-1$ éléments....
F.
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#3 22-10-2017 16:50:35
- m ichel mollard
- Invité
Re : Preuve combinatoire
Bonjour,
Voilà le début Imagine que tu as n boules rouges et n+1 blanches. Tu dois choisir 1 rouge pour la mettre à part et n-1 boules parmi les 2n qui restent.
Tu peux aussi le faire en choisissant d'abord le nombre k total de boules rouges puis.....
#4 31-10-2017 12:23:46
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
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- Messages : 7 457
Re : Preuve combinatoire
Salut,
a priori, et sauf erreur, la formule postée est fausse !
avec n = 4 , on a 224 qui est différent de 140 et avec n = 6, on a 4.752 qui est différent de 2.772 ...
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#6 31-10-2017 16:28:27
- freddy
- Membre chevronné
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- Messages : 7 457
Re : Preuve combinatoire
C'est ce qui me semblait aussi quand j'avais réfléchi au problème. Je pense que c'est juste en remplaçant 2n par 2n-1 dans le coefficient binomial de gauche.
F
Exact !
du coup, en reprenant ton résultat, il faut faire un petit calcul du genre $(X+Y)^{2n-1}=(X+Y)^n\times (X+Y)^{n-1}$, isoler à gauche le coefficient de $X^n Y^{n-1}$ et montrer qu'à droite et par identification, on a bien une somme de produit de coefficients de la forme que tu indiques.
Dernière modification par freddy (31-10-2017 16:49:18)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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