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#1 14-10-2017 13:35:20

Marco11
Membre
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Suite définie par récurrence

Bonjour à tous!                                                                   

J'aimerais déterminer l'expression de la suite réelle $x_n$ définie par récurrence ainsi qu'il suit:   
$ x_{n+4}= 4x_{n+3}-9x_{n+2}+10x_{n+2}-4x_n $,   et $x_0=0,  x_1=1,  x_2=-1,  x_3=0$.                                 
La matrice  $A$ associée que j'ai obtenue admet 1 comme racine double et deux racines complexes. Je ne sais comment faire pour calculer $A^n$.                                               

Donnez-moi quelques indications s'il vous plaît.

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#2 14-10-2017 14:20:12

leon1789
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Re : Suite définie par récurrence

Salut
la matrice A est-elle diagonalisable sur le corps des nombres complexes ?

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#3 14-10-2017 15:09:56

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 27

Re : Suite définie par récurrence

Je ne crois pas..... En fait,1 est valeur propre et d'ordre de multiplicité 2. Mais son sous espace propre est de dimension 1... Est-ce possible que A soit diagonalisable ??

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#4 14-10-2017 15:23:09

leon1789
Membre
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Messages : 1 200

Re : Suite définie par récurrence

Pour que A soit diagonalisable, il est nécessaire (et suffisant) que chaque sous-espace propre soit de dimension égale à la multiplicité de la valeur propre associée en tant que racine du polynôme caractéristique.

Je n'ai pas vérifié tes calculs. Si l'espace propre associé à 1 est de dimension 1 (comme tu le dis), alors la matrice A n'est pas diagonalisable.

Donc, on peut passer à une autre méthode : pour calculer $A^n$ as-tu vu une méthode à base de division euclidienne de polynômes ?

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#5 14-10-2017 16:24:02

Marco11
Membre
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Messages : 27

Re : Suite définie par récurrence

Non,je ne connais pas cette méthode là.. En quoi consiste t-elle s'il vous plaît ??

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#6 14-10-2017 16:59:44

Fred
Administrateur
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Messages : 4 701

Re : Suite définie par récurrence

Un petit exemple vaut sans doute mieux qu'un long discours. Regarder cet exercice

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#7 14-10-2017 17:16:36

Marco11
Membre
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Re : Suite définie par récurrence

Merci bien...Mais, je ne pense pas que cet  exemple puisse réellement m'aider car le polynôme que j'ai obtenu possède des racines complexes...... Néanmoins, je vais essayer de l'appliquer.

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#8 14-10-2017 19:10:12

leon1789
Membre
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Re : Suite définie par récurrence

La méthode s'applique même avec des racines complexes : avoir des racines complexes va provoquer des solutions complexes conjuguées à ton système linéaire (4 équations à 4 inconnues)

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#9 14-10-2017 19:45:44

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Suite définie par récurrence

Et pour préciser ce que dit Leon1789, si tu as une racine double, tu peux obtenir une deuxième équation en dérivant le résultat de la division euclidienne...

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#10 15-10-2017 12:17:01

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 27

Re : Suite définie par récurrence

Merci bien. J'ai essayé cette méthode là. Mais,le système obtenu un système complexe,pourtant la suite est réelle. Le polynôme caractéristique est : $ P=X^4-4X^3+9X^2-10X+4 $.Que puis-je faire s'il vous plaît?

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#11 15-10-2017 15:41:19

pedestre
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Re : Suite définie par récurrence

Bonjour,

Le polynôme annulateur (réel) a donc la racine double $1$ et 2 racines complexes conjuguées qu'on peut écrire $\rho e^{\pm i\theta}$. Sur le corps des complexes les suites solutions sont les suites $(An+B)+C e^{ i n \theta}+D e^{- i n \theta}$. Il reste à exprimer les exponentielles complexes sous forme trigonométrique et à imposer les conditions initiales. Ces conditions initiales imposent la réalité des coefficients et donc de la suite demandée. Le passage par les complexes pour obtenir un résultat réel a été abondamment pratiqué depuis l'invention des nombres complexes (et a même été la raison de cette invention)!

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#12 15-10-2017 17:24:50

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 27

Re : Suite définie par récurrence

Merci beaucoup... Malgré que je n'ai pas véritablement l'expression de cette suite,j'ai compris plein de chose grâce à vous.

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