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#1 14-10-2017 10:05:42

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

théorème sur Truncation sequence

Bonjour,
je cherche une démonstration pour le théorème suivant: soit $K$ un compact tel que $K \subset \cup_{j=1}^N \Omega_j$ tels que $(\Omega_j)$ sont des ouverts. Alors, il existe des compacts $K_j \subset \Omega_j$ tels que $K \subset \cup_{j=1}^N K_j$.

Ce théorème est venu après la définition suivante: soit $\Omega$ un ouvert et soit $(\Omega_j)$ une suite exhaustive d'ouverts qui couvre $\Omega$. On dit d'une suite $(\varphi_j)$ de $\mathcal{D}(\Omega)$ qu'elle est "truncation sequence" si elle vérifie: $\forall j, 0 \leq \varphi_j \leq 1$ et $\varphi_j=1$ au voisinage de $\overline{\Omega}_j$.
Voici l'idée que j'ai travaillé. On suppose que $K \subset \cup_{j=1}^N \Omega_j$ où $\Omega_j$ est un ouvert pour tout $j$, et on sait que tout ouvert admet une suite exhaustive de compacts, c'est à dire que pour tout $j$, il existe une famille exhaustive de compacts $M_{i,j}$ tels que
$\Omega_j=\cup_{i=1}^N M_{i,j}$. Par conséquent, on a $K \subset \cup_{i,j=1}^N M_{i,j}$.
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par bib (14-10-2017 19:35:59)

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#2 14-10-2017 20:30:35

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : théorème sur Truncation sequence

Bonsoir,

  Voici une preuve, pas forcément la meilleure possible!
Soit $x\in K$.
On note $\delta_x>0$ tel que, pour tout $j=1,\dots, N$, si $x\in \Omega_j$, alors $\bar B(x,\delta_x)\subset\Omega_j$ (c'est possible de trouver un tel $\delta_x$ car les $\Omega_j$ sont ouverts).
On a $K\subset\bigcup_{x\in K}B(x,\delta_x)$. Puisque $K$ est compact, on peut extraire de ce recouvrement ouvert un recouvrement fini
$K\subset B(x_1,\delta_{x_1})\cup\dots B(x_p,\delta_{x_p})$.

On note alors $K_j=\bigcup_{i;\ x_i\in \Omega_j}\bar B(x_i,\delta_{x_i})\cap K$. Chaque $K_j$ est compact, car réunion finie de compacts. De plus, $K\subset\bigcup_{j=1}^N K_j$ (on a même égalité), car si $x\in K$, alors $x\in B(x_i,\delta_{x_i})$ pour un certain $i$ et donc $x\in K_j$ où $j$ est tel que $x_i\in\Omega_j$.
Enfin, $K_j\subset\Omega_j$ car par définition de $\delta_{x_i}$, si $x_i\in \Omega_j$, alors $\bar B(x_i,\delta_{x_i})\subset \Omega_j$.

F.

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#3 14-10-2017 20:35:21

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 200

Re : théorème sur Truncation sequence

Salut,
on peut faire une preuve par récurrence sur N : le coeur du problème réside dans le cas N=2, car l'hérédité ne pose pas de souci particulier (en groupant les deux derniers ouverts d'indice N-1 et N, on applique l'hypothèse de récurrence au rang N-1 et au rang 2).

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#4 14-10-2017 22:22:24

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : théorème sur Truncation sequence

Soit $\Omega_j$ un ouvert. Alors il existe une suite exhaustive de compacts $(M_l)_{l \in \mathbb{N}}$ qui couvre $\Omega_j$, c'est à dire que $\forall l \in \mathbb{N}: M_l \subset M_{l+1,j}$ et $\Omega_j= \cup_{l \in \mathbb{N}} M_{l,j}$.
On a par hypothèse que $K \subset \cup_{j=1}^n \Omega_j$, alors on a $K \subset \cup_{j=1}^n \cup_{l \in \mathbb{N}} M_{l,j}$.
Ma difficulté est de déduire la forme du compact $K_j$ dont on a besoin. Est-ce qu'il y a une issue? S'il vous plaît.

Dernière modification par bib (14-10-2017 22:23:27)

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#5 15-10-2017 05:09:40

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : théorème sur Truncation sequence

Pour Bib : je ne suis pas sûr que ta méthode aboutisse. Leon et moi t'en proposons deux qui fonctionnent.

Pour Leon  : le cas N=2 ne me semble pas forcément plus simple que le cas N quelconque. As-tu un argument particulier ?

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#6 15-10-2017 07:28:45

leon1789
Membre
Inscription : 27-08-2015
Messages : 1 200

Re : théorème sur Truncation sequence

@Fred,
je n'ai pas d'argument mathématique, mais c'est juste que je pense préalablement ainsi, par habitude : "si on veut le faire pour N ouverts, alors il faut savoir le faire pour 2 ouverts. Avec 2, cela ne peut pas être plus compliqué qu'avec N : cela évite au moins les indices ;) . Et ici, le faire pour 2 est suffisant (via une petite récurrence)."

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#7 15-10-2017 08:06:23

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : théorème sur Truncation sequence

Fred: mais dans votre méthode vous avez utilisez les boules donc vous avez supposé qu'on est dans un espace métrique, mais il n y a pas cette hypothèse dans le texte du théorème. On utilise quand même les boules?
S'il vous plaît,
1.est-ce que je peux avoir plus de détails sur la façon de prouver le résultat par récurrence?
2. Est-ce qu'on peut choisir $\delta_x$ tel que $B(x,\delta_x) \subset \Omega_j$? Si c'est non alors pourquoi il faut $\overline{B}(x,\delta_x) \subset \Omega_j$? pourquoi l'adhérence?

Dernière modification par bib (15-10-2017 15:58:56)

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#8 15-10-2017 20:06:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : théorème sur Truncation sequence

J'ai besoin de l'adhérence, parce qu'à la fin, je veux obtenir un compact. Et autant je sais que $K\cap \bar B(x,\delta)$ est compact, autant ça a toutes les chances d'être faux si je ne prends pas l'adhérence.

Tu as raison, ma méthode ne fonctionne que pour des espaces métriques. En même temps, quand on parle de $\mathcal D(\Omega)$, on a bien affaire à des ouverts de $\mathbb R^n$, non???

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#9 15-10-2017 20:53:57

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : théorème sur Truncation sequence

S'il vous plaît donc on pose $K_j= \cup_{i, x_i \in \Omega_j} \overline{B}(x_i,\delta_{x_i}) \cup K$. Pourquoi ça ne suffit pas de considérer
$K_j= \cup_{i, x_i \in \Omega_j} \overline{B}(x_i,\delta_{x_i})$? C'est pourtant un compact

Dernière modification par bib (15-10-2017 20:54:13)

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#10 15-10-2017 21:06:57

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : théorème sur Truncation sequence

C'est l'intersection avec $K$, pas la réunion.

La réponse est dans ta remarque suivante, sauf que tu as faux. Une boule fermée n'est pas forcément compacte (par exemple, dans un espace vectoriel normé de dimension infinie).

F.

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#11 15-10-2017 21:46:33

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : théorème sur Truncation sequence

Merci beaucoup pour toute votre aide.

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