Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 06-10-2017 09:38:41

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Convergence dans D

Bonjour,
j'essaye d'étudier la convergence dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ de la suite $(\theta_n)$ donnée par son terme générale $\theta_n(x)= \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$

On commence par l'étude de le convergence simple.

Si $\varphi=0$ alors $(\eta_n)$ converge dans $\mathcal{D}$ vers 0.
Si $\varphi \neq 0$ alors on distingue deux cas:
$\bullet$ si $x = k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, alors $\sin(nx)=0$ et donc $\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)=0$.
$\bullet$ si $x \neq k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .  $\sin(nx)$ n'a pas de limite et $\lim_{n \to +\infty} \varphi(\dfrac{x}{n})=0$, on ne peut pas ditribuer la limite. Alors voilà ce que je propose
on a $-\varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \varphi(\dfrac{x}{n})$.
- Si $\varphi(0)=0$, alors $\lim_{n \to +\infty} \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})=0$ et donc la suite réelle $\eta_n(x)$ converge vers 0.
- Si $\varphi(0) \neq 0$, alors la suite réelle $\sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$ n'a pas de limite.
On conclut alors que si $\varphi(0)=0$, la suite de fonctions $(\eta_n)$ converge simplement vers 0, et si $\varphi(0) \neq 0$ alors la suite $(\eta_n)$ ne converge pas simplement dans $\mathbb{R}$.

Puisque $\varphi \neq 0$ alors il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$.
Si $x_0=0$ c'est à dire que $\varphi(0) \neq 0$ et dans ce cas $(\theta_n)$ ne converge pas dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$.
Si $x_0 \neq 0$, alors on a $\forall n \in \mathbb{N}: \eta_n(n x_0) = \sin(n^2 x_0) \varphi(x_0) \neq 0$, ce qui implique que $\forall n \in \mathbb{N}, n x_0 \in Supp(\theta_n)$, et l'ensemble des points $n x_0$ n'est pas borné, donc $Supp (\theta_n)$ n'est pas borné, et il n'est donc pas compact.

Si c'est ok, comment améliorer la rédaction? Et ma question est: si on suppose que $x_0 \neq 0$, par continuité de $\varphi$, $\varphi$ reste non nul au voisinage de $x_0$ alors qui nous dit que 0 n'appartient pas à ce voisinage, et donc que $\varphi(0) \neq 0$ même dans ce cas? Puisque le point où $\varphi$ est nulle n'est pas unique.

Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par bib (06-10-2017 09:42:06)

Hors ligne

#2 06-10-2017 17:10:11

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

bib a écrit :

Bonjour,
j'essaye d'étudier la convergence dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ de la suite $(\theta_n)$ donnée par son terme générale $\theta_n(x)= \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$

On commence par l'étude de le convergence simple.

Si $\varphi=0$ alors $(\eta_n)$ converge dans $\mathcal{D}$ vers 0.
Si $\varphi \neq 0$ alors on distingue deux cas:
$\bullet$ si $x = k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, alors $\sin(nx)=0$ et donc $\lim_{n \to +\infty} \eta_n(x)=0$.
$\bullet$ si $x \neq k \pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .  $\sin(nx)$ n'a pas de limite et $\lim_{n \to +\infty} \varphi(\dfrac{x}{n})=0$,

Je pense que tu voulais écrire $\varphi(0)$.

on ne peut pas ditribuer la limite.

Je ne sais pas ce que signifie"distribuer la limite".

Alors voilà ce que je propose
on a $-\varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \varphi(\dfrac{x}{n})$.
- Si $\varphi(0)=0$, alors $\lim_{n \to +\infty} \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})=0$ et donc la suite réelle $\eta_n(x)$ converge vers 0.
- Si $\varphi(0) \neq 0$, alors la suite réelle $\sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$ n'a pas de limite.

L'encadrement précédent ne prouve par que si $\varphi(0)\neq 0$, alors la suite $\sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$ n'a pas de limites (ce qui est cependant vrai - il suffit de dire que si cela avait une limite disons $\ell$, alors $\sin(nx)$ convergerait vers $\ell/\varphi(0)$.

On conclut alors que si $\varphi(0)=0$, la suite de fonctions $(\eta_n)$ converge simplement vers 0, et si $\varphi(0) \neq 0$ alors la suite $(\eta_n)$ ne converge pas simplement dans $\mathbb{R}$.

Puisque $\varphi \neq 0$ alors il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$.
Si $x_0=0$ c'est à dire que $\varphi(0) \neq 0$ et dans ce cas $(\theta_n)$ ne converge pas dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$.
Si $x_0 \neq 0$, alors on a $\forall n \in \mathbb{N}: \eta_n(n x_0) = \sin(n^2 x_0) \varphi(x_0) \neq 0$, ce qui implique que $\forall n \in \mathbb{N}, n x_0 \in Supp(\theta_n)$, et l'ensemble des points $n x_0$ n'est pas borné, donc $Supp (\theta_n)$ n'est pas borné, et il n'est donc pas compact.

Je ne comprends pas pourquoi $\sin(n^2 x_0)$ est non nul.... Si $x_0=\pi$ par exemple????
Cela dit, tu peux étudier le support de $\theta_n$ en fonction de celui de $\varphi$.

Si c'est ok, comment améliorer la rédaction? Et ma question est: si on suppose que $x_0 \neq 0$, par continuité de $\varphi$, $\varphi$ reste non nul au voisinage de $x_0$ alors qui nous dit que 0 n'appartient pas à ce voisinage, et donc que $\varphi(0) \neq 0$ même dans ce cas? Puisque le point où $\varphi$ est nulle n'est pas unique.

Rien ne nous dit cela!

Hors ligne

#3 06-10-2017 18:45:50

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

S'il vous plaît, comment on étudie le support de $\theta_n$ en fonction de celui de $\varphi$? Je suis perdue avec la rédaction.

Hors ligne

#4 06-10-2017 19:17:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

Si $\varphi\neq 0$, il existe un intervalle ouvert $I$ tel que $\varphi(x)\neq 0$ pour tout $x\in I$.
Dans cet intervalle $I$, il existe des réels $y$ qui ne s'écrivent pas sous la forme $k\pi /n^2$, avec $k\in\mathbb Z$ et $n\in\mathbb N$ (par exemple parce que l'ensemble des $k\pi/n$ est dénombrable).
Prenons un tel $y$, et calculons $\theta_n(ny)$ :
$$\theta_n(ny)=\sin(n^2 y)\varphi(y)\neq 0,$$
car $y$ ne s'écrit pas sous la forme $k\pi/n^2$.
Puisque la suite $(ny)$ tend vers l'infini, le support de $\theta_n$ n'est pas contenu dans un compact fixe (indépendant de $n$).

F

Hors ligne

#5 06-10-2017 20:21:31

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Ok c'est bien compris. Merci beaucoup!
J'ai deux questions s'il vous plaît
1. Pourquoi est-ce que l'encadrement $- \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \varphi(\dfrac{x}{n})$ ne montre pas que si $\varphi(0) \neq 0$ alors $\theta_n(x)$ n'a pas de limite? Dans ce cas on aura le terme de gauche et celui de droite non identiques. Non? Et je ne comprend pas pourquoi il faut dire que $\sin (nx)$ converge vers $l/\varphi(0)$. Qui est l? et pourquoi ça montre que $\theta_n(x)$ n'a pas de limite?

2. On a trouvé que $Supp (\theta_n)$ contient un ensemble non borné de points de la forme $(n y)$. Alors ça n'est pas une contradition avec le fait que $Supp (\theta_n)$ soit borné? S'il vous plaît.

Hors ligne

#6 06-10-2017 20:37:56

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

bib a écrit :

Ok c'est bien compris. Merci beaucoup!
J'ai deux questions s'il vous plaît
1. Pourquoi est-ce que l'encadrement $- \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \sin(nx) \varphi(\dfrac{x}{n}) \leq \varphi(\dfrac{x}{n})$ ne montre pas que si $\varphi(0) \neq 0$ alors $\theta_n(x)$ n'a pas de limite? Dans ce cas on aura le terme de gauche et celui de droite non identiques. Non?

Par exemple, tu as
$$-1-\frac 1n\leq \frac 1n\leq 1+\frac 1n$$
Le terme de gauche et de droite n'ont pas la même limite, et pourtant le terme central converge (le théorème des gendarmes donne une condition suffisante mais pas nécessaire à la convergence).

Et je ne comprend pas pourquoi il faut dire que $\sin (nx)$ converge vers $l/\varphi(0)$. Qui est l? et pourquoi ça montre que $\theta_n(x)$ n'a pas de limite?

Il me semble avoir dit dans mon post ce qu'était $\ell$ (j'ai fait un raisonnement pas l'absurde!).

2. On a trouvé que $Supp (\theta_n)$ contient un ensemble non borné de points de la forme $(n y)$. Alors ça n'est pas une contradition avec le fait que $Supp (\theta_n)$ soit borné? S'il vous plaît.

Non, on n'a pas prouvé que $Supp(\theta_n)$ n'est pas borné, on a juste prouvé que $ny\in Supp(\theta_n)$ mais il y a une dépendance en $n$ des deux côtés. En revanche, ceci prouve qu'il n'existe pas un réel $A>0$ (et qui ne dépend pas de $n$), tel que, pour tout $n$,
$Supp(\theta_n)\subset [-A,A]$.

F.

Hors ligne

#7 06-10-2017 21:58:35

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Si je comprend bien, ça revient en fait à dire que oui $Supp (\theta_n)$ est compact car $\theta_n$ est une fonction teste, mais il dépend de $n$. C'est bien ça? S'il vous plaît.

Hors ligne

#8 07-10-2017 06:55:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

Oui.

Hors ligne

#9 07-10-2017 11:14:12

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Bonjour,
pour la suite de fonctions $(\theta_n)$ donnée par $\theta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})$
on commence par étudier la converge simple de $(\theta_n)$. Soit $x$ fixé dans $\mathbb{R}$. On a  $\lim_{n \to +\infty} \theta_n(x)= \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})$. On a  $0 \leq |\dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})| \leq \dfrac{M}{n}$ où $M = \sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x)|$. Donc $\lim_{n \to +\infty} \theta_n(x)= 0$. On conclut que la suite de fonctions $(\theta_n)$ converge simplement dans $\mathbb{R}$ vers $\theta=0$.

On a $Supp \theta_n \subset [-an,an]$. La question est de savoir si on peut trouver un compact $K$ fixe (indépendant de $n$) qui contient $Supp \theta_n$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
Puisque $\varphi \neq 0$, alors $\exists y \in \mathbb{R}: \varphi(y) \neq 0$, et par la continuité de $\varphi$, il existe un voisinage $V$ de $y$ tel que $\forall x \in V: \varphi(x) \neq 0$. On a $\theta_n(n y)= \dfrac{1}{n} \varphi(y) \neq 0$, ce qui veut dire que $n x \in Supp(\theta_n)$ avec $n y \to +\infty$, donc $Supp (\theta_n)$ ne peut pas être contenu dans un compact fixe (indépendant de $n$).

1. Est-ce que la rédaction est excellente? S'il vous plaît.

2. Si oui, j'ai une question: pourquoi il est important de travailler sur le voisinage du point $y$ où $\varphi$ ne s'annule pas?

3. Mon prof a donné la preuve suivante:
Si $\varphi \neq 0$, il existe $x \in \mathbb{R}^\star$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$. On remarque que $\theta_n(n x_0)= \dfrac{1}{n} \varphi(x_0) \neq 0$.
Alors $n x_0 \in Supp \theta_n$ quelque soit $n$ et l'ensemble des points $n x_0$ n'est pas borné, donc $Supp \theta_n$ n'est pas borné et ainsi il n'est pas compact.
Qu'est ce que vous en pensé? S'il vous plaît. Pourquoi il a pris $x_0 \neq 0$?

Dernière modification par bib (07-10-2017 12:01:20)

Hors ligne

#10 07-10-2017 20:49:08

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

bib a écrit :

Bonjour,
pour la suite de fonctions $(\theta_n)$ donnée par $\theta_n(x)= \dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})$
on commence par étudier la converge simple de $(\theta_n)$. Soit $x$ fixé dans $\mathbb{R}$. On a  $\lim_{n \to +\infty} \theta_n(x)= \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})$. On a  $0 \leq |\dfrac{1}{n} \varphi(\dfrac{x}{n})| \leq \dfrac{M}{n}$ où $M = \sup_{x \in \mathbb{R}} |\varphi(x)|$. Donc $\lim_{n \to +\infty} \theta_n(x)= 0$. On conclut que la suite de fonctions $(\theta_n)$ converge simplement dans $\mathbb{R}$ vers $\theta=0$.

On a $Supp \theta_n \subset [-an,an]$. La question est de savoir si on peut trouver un compact $K$ fixe (indépendant de $n$) qui contient $Supp \theta_n$ quelque soit $n \in \mathbb{N}$.
Puisque $\varphi \neq 0$, alors $\exists y \in \mathbb{R}: \varphi(y) \neq 0$, et par la continuité de $\varphi$, il existe un voisinage $V$ de $y$ tel que $\forall x \in V: \varphi(x) \neq 0$. On a $\theta_n(n y)= \dfrac{1}{n} \varphi(y) \neq 0$, ce qui veut dire que $n x \in Supp(\theta_n)$ avec $n y \to +\infty$, donc $Supp (\theta_n)$ ne peut pas être contenu dans un compact fixe (indépendant de $n$).

1. Est-ce que la rédaction est excellente? S'il vous plaît.

2. Si oui, j'ai une question: pourquoi il est important de travailler sur le voisinage du point $y$ où $\varphi$ ne s'annule pas?

Moi, si j'avais eu à rédiger cela, je n'aurai parlé que de $y$, sans introduire son voisinage (que tu n'utilises d'ailleurs pas dans la fin de ta preuve).

3. Mon prof a donné la preuve suivante:
Si $\varphi \neq 0$, il existe $x \in \mathbb{R}^\star$ tel que $\varphi(x_0) \neq 0$. On remarque que $\theta_n(n x_0)= \dfrac{1}{n} \varphi(x_0) \neq 0$.
Alors $n x_0 \in Supp \theta_n$ quelque soit $n$ et l'ensemble des points $n x_0$ n'est pas borné, donc $Supp \theta_n$ n'est pas borné et ainsi il n'est pas compact.
Qu'est ce que vous en pensé? S'il vous plaît. Pourquoi il a pris $x_0 \neq 0$?

Ah ben oui, c'est exactement comme cela que j'aurais fait! Il a pris $x_0\neq 0$ pour être sûr que $nx_0$ n'est pas borné.

F.

Hors ligne

#11 07-10-2017 21:25:26

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

1. Mais mon problème est qu'à la fin, il dit que $Supp \theta_n$ n'est pas compact, or qu'il est compact. Ce n'est pas une erreur?
2. Dans le précédent exemple avec $\sin (nx) \varphi(\dfrac{x}{n})$ pourquoi on travail sur un voisinage $I$? Au lieu de travailler avec un point fixé $y \neq k \pi/n^2$? S'il vous plaît.

Dernière modification par bib (07-10-2017 22:50:31)

Hors ligne

#12 08-10-2017 05:21:31

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

1. Si pardon c'est une erreur

2. A cause du sinus. Au point où  $ \varphi $ ne s'annule pas par malchance le sinus pourrait s'annuler !

Hors ligne

#13 15-10-2017 22:13:57

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Bonjour,
j'ai la suite de fonction $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1 +(nx)^2} \varphi(x)$, avec $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ non identiquement nulle telle que $\varphi(0)=0$.
La question est d'étudier la convergence dans $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ de la suite $(\psi_n)$.
Je trouve que $(\psi_n)$ converge simplement vers $\psi=0$.
On a
$Supp \psi_n= Supp \varphi \subset K=[-a,a]$ avec $a >0$.
$Supp \psi= \emptyset \subset K$.
Soit $\alpha \in \mathbb{N}$. On calcul $\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |D^\alpha \psi_n(x)|$.
Mon problème est dans le calcul de $D^\alpha \psi_n(x)|$. On a
$\psi'_n(x)= \dfrac{-2 n x}{(1+(nx)^2)^2} \varphi(x) + \dfrac{1}{1+ (nx)^2} \varphi'(x)$
et le calcul de $\psi''_n$ est plus compliqué.
Comment on s'en sort ici? S'il vous plaît.

Hors ligne

#14 16-10-2017 04:50:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

Cela a l'air un peu compliqué. On n'a pas d'autres informations sur la fonction (comme sa dérivée en 0) ?

Hors ligne

#15 16-10-2017 12:22:00

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Non je n'ai aucune information. Quelle hypothèse supplémentaire pourrait nous aider à finir le calcul? S'il vous plaît.

Hors ligne

#16 16-10-2017 13:06:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

Si  $ \varphi'(0) $ est different de 0 ton calcul précédent montre que  $ \psi_n'(0) $  ne peut pas tendre vers 0. Sinon je ne sais pas je n'ai pas assez réfléchi.

Hors ligne

#17 16-10-2017 13:13:40

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

mais pourquoi si $\varphi'(0) \neq 0$ alors le calcul précédent montre que $\psi'_n(0)$ ne peut pas tendre vers 0? et pourquoi on regarde la dérivée au point 0? on qu'il faut voir le sup de toutes les dérivées? C'est quoi la relation s'il vous plaît

Hors ligne

#18 16-10-2017 15:46:44

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

Je pense que tu as posté sans réfléchir (moins de 7 minutes entre mon post et le tien ! ). As tu au moins fait x=0 dans l'expression de la dérivée de  $ \psi_n $?

Hors ligne

#19 21-10-2017 18:04:38

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Bonjour,
je reviens sur cet exercice. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ donc $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ avec $a>0$. On considère la suite de fonctions $(\psi_n)$ donnée par $\psi_n(x)= \dfrac{1}{1+(nx)^2} \varphi(x)$.
Je commence par étudier la convergence uniforme de $(\psi_n)$ vers $\psi=0$.
On a
$$
\sup_{x \in K} |\psi_n(x)| \leq \sup_{x \in K} |\dfrac{1}{1+(nx)^2}|. \sup_{x \in K} |\varphi(x)|.
$$
On pose $\sup_{x \in K}|\varphi(x)|=M$ et on a $\sup_{x \in K} |\dfrac{1}{1+(nx)^2}|=1$. Donc on en déduit que $\sup_{x \in K} |\psi_n(x)| \leq M$ où $M=\sup_{x \in K} |\varphi(x)|$.
On a obtenu une majoration constante de $\sup_{x \in K} |\psi_n(x)|$ mais cela n'implique pas que la suite $(\psi_n)$ converge uniformément. Non?
et puis c'est quoi la relation avec l'hypothèse $\varphi(0)=0$? S'il vous plaît. Je ne comprend pas.

Dernière modification par bib (21-10-2017 20:53:21)

Hors ligne

#20 21-10-2017 20:34:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

Non cela n'implique pas la convergence uniforme et je pense que tu as oublié une partie dans la définition de ta fonctionn

Hors ligne

#21 21-10-2017 20:56:48

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Oui, j'ai oulblié le $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, je viens de réctifier.
S'il vous plaît, si on veut montrer que $\lim_{n \to +\infty} \sup_{x \in K} |\psi_n(x)|=0$. On doit montrer que pour tout $\epsilon >0$, il existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $\forall n \geq n_0$ on a $|\sup_{x \in K} |\psi_n(x)|| \leq \epsilon$.
Si on suppose que $\varphi(0)=0$ en sachant que $\varphi$ est continue, comment ça peut nous aider à montrer que la limite est zéro? S'il vous plaît.

Dernière modification par bib (21-10-2017 21:00:54)

Hors ligne

#22 23-10-2017 08:41:17

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Bonjour,
alors s'il vous plaît, est-ce que $\varphi(0)=0$ et $\varphi$ borné impliquent la convergence uniforme de $(\psi_n)$?

Dernière modification par bib (23-10-2017 08:41:30)

Hors ligne

#23 23-10-2017 10:48:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

La continuité de $\varphi$ en $0$ te dit qu'il existe $\eta>0$ tel que si $x\in [-\eta,\eta]$ alors $|\varphi(x)|\leq \varepsilon$.
Ceci doit permettre de traiter le cas $x\in [-\eta,\eta]$.

Tu traites ensuite les cas $|x|>\eta$ à peu près comme tu l'as proposé, mais sachant que $|x|>\eta$, tu peux faire mieux que $\frac 1{1+(nx)^2}\leq 1$.

F.

Hors ligne

#24 23-10-2017 12:25:11

bib
Membre
Inscription : 23-09-2017
Messages : 187

Re : Convergence dans D

Aidez moi s'il vous plaît, je suis complétement perdue.
Si $x \in [-\eta,\eta]$ alors $|\psi_n(x)| \leq \epsilon$, et comment ça implique la convergence uniforme de $(\psi_n)$?
Ensuite si $|x| > \eta$, je ne sais plus comment faire pour montrer la convergence unifoeme de $(\psi_n)$ car il me reste $\sup_{x \in K}|\varphi(x)|$ au second membre et on ne saitr pas s'il tends vers 0 ou non. Comment le montrer s'il vous plaît.

Hors ligne

#25 23-10-2017 12:29:07

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 704

Re : Convergence dans D

Tu veux appliquer la définition, tu fixes un $\varepsilon>0$ et tu veux montrer qu'il existe $N$ tel que, si $n\geq N$ et $x\in [-a,a]$, alors $|\psi_n(x)|<\varepsilon$.

La continuité te règle le cas $x\in[-\eta,\eta]$ : pour tout $n\in\mathbb N$ et tout $x\in [-\eta,\eta]$, alors $|\psi_n(x)|\leq\varepsilon$.

Si $x\notin  [-\eta,\eta]$, je ne vois pas comment faire mieux, sans te donner le corrigé, que de répéter ce que j'ai dit dans mon post précédent : Puisque $|x|\geq\eta$ (donc $x^2\geq \dots$), on peut majorer $\frac{1}{1+(nx)^2}$ par quelque chose de bien meilleur que 1.

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de cette opération? 3*3=

Pied de page des forums