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#1 05-10-2017 15:01:35

yala
Invité

probleme maths

bonjour
j'ai un DM a faire mais du coup j'ai pas pu resoudre la 3 partie de Dm quelqu'un peut m'aider merci d'avance
On note maintenant Mn = (mij ) la matrice d’ordre n qui verifie mij = 0 si i+j different de n+ 1
et mij = 1 si i + j = n + 1.
Une matrice A = (aij ) appartenant à Mn(Q) appartient à l’ensemble Pn(Q) si il existe
un rationnel σ(A) v´erifiant :
∀i ∈ [1, n] la somm(aij)=σ(A)
la somme(aij) = σ(A) , ∀j ∈ [1, n]
Une matrice A ∈ Mn(Q) appartient à l’ensemble Qn(Q) si elle appartient à Pn(Q) et si
en plus sa trace et la trace de MnA sont ´egales `a σ(A).
III.1 Montrer que Pn(Q) = Qn(Q) ⊕ QIn ⊕ QMn.
III.2 Montrer que Pn(Q) est une sous-algebre de Mn(Q).
III.3 Montrer que si A ∈ Q3(Q), alors Ap ∈ Q3(Q) pour tout p ≥ 1 impair.
III.4 Le r´esultat de la question pr´ec´edente est-il encore valable pour des matrices magiques
en dimension superieure ?

#2 05-10-2017 19:26:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : probleme maths

Bonjour,

  Pas facile de lire ton message sans se mettre à Latex. Je résume : $P_n(\mathbb Q)$ est l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\mathbb Q$ dont les sommes de chaque ligne et de chaque colonne sont égale. $Q_n(\mathbb Q)$ est l'ensemble des matrices $A$  de $M_n(\mathbb Q)$ pour lesquelles la trace et la trace de $M_nA$ sont également égales à la somme de chaque ligne et de chaque colonne.
La matrice $M_n$ est la matrice dont les coefficients sont nuls, sauf ceux sur l'anti-diagonale, qui valent $1$. Remarquons que la trace de $M_n A$ est la somme des coefficients sur l'antidiagonale.

A la première question, tu dois démontrer que $P_n(\mathbb Q)=Q_n(\mathbb Q)\oplus\mathbb QI_n\oplus\mathbb Q M_n$.

Il y a donc deux parties :
1. D'abord, démontrer que ces trois espaces sont en somme directe. Pour cela, tu prends $A$ dans $Q_n(\mathbb Q$, $\lambda,\mu\in\mathbb Q$ et tu dois démontrer que si $A+\lambda I_n+ \mu M_n=0$, alors $A=0$ et $\lambda=\mu=0$.

Je te conseille de calculer la somme de la première colonne de $A+\lambda I_n+\mu M_n$. Que trouves-tu (en fonction de $\sigma(A)$, de $\lambda$ et de $\mu$)? Ce doit être égal à $0$. Puis calcule la trace de cette matrice. Tu devrais pouvoir prouver que $\lambda=0$...

2. Cette fois tu prends une matrice $B$ et tu veux l'écrire sous la forme $A+\lambda I_n+\mu M_n$. La même idée que précédemment (en exprimant la somme de la première colonne de $B$, puis sa trace, en fonction de $\sigma(A)$, $\lambda$ et $\mu$) devrait te donner $\lambda$.

F.

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