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#1 01-10-2017 11:39:54

bib
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support d'une fonction

Bonjour,
Je lis qu'une fonction teste $\varphi: \Omega \to \mathbb{R}$ s'annule au voisinage de la frontière de $\Omega$, c'est à dire qu'une fonction teste est toujours nulle avant d'arriver à la frontière.
1. Quel importance cette remarque peut avoir? Et est-ce qu'elle peut nous indiquer les points du support pour lesquelles la fonction teste est nulle? S'il vous plaît.
2. Est ce qu'il est possible que le support d'une fonction soit $\mathbb{R}$ tout entier? D'après la remarque ci dessus, la réponse est non, mais pourquoi? S'il vous plaît.
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par bib (01-10-2017 16:48:20)

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#2 02-10-2017 07:20:31

Fred
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Re : support d'une fonction

2. Non, puisque le support d'une fonction test est un compact, et $\mathbb R$ n'est pas un compact.

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#3 02-10-2017 17:46:12

bib
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Re : support d'une fonction

S'il vous plaît, si on considère la fonction $1_Q$, je trouve que le $supp (1_Q)= \overline{Q}= \mathbb{R}$.
1. Est-il possible de déterminer le plus grand ouvert sur lequel $1_Q$ est nulle (sans passer par le calcul de $Supp(1_Q)$)? S'il vous plaît.

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#4 02-10-2017 18:59:58

Fred
Administrateur
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Re : support d'une fonction

Il n'y a aucun ouvert non réduit à un point sur lequel $1_{\mathbb Q}$ est nulle. En effet, si $U$ est un tel ouvert, puisque $\mathbb Q$ est dense dans $\mathbb R$, il existe $x\in U\cap\mathbb Q$, et donc $1_{\mathbb Q}(x)\neq 0$.

F.

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#5 02-10-2017 19:54:29

bib
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Re : support d'une fonction

Génial! Donc $(Supp (1_Q))= \empstyset$ et par conséquent $Supp(1_Q)= \mathbb{R}$.
J'ai une questions s'il vous plaît:
Avez vous un truc mémo technique pour retenir que $\overline{Q}$ est compact? et est-ce que $Q^c$ est ouvert ou bien fermé dans la topologie usuelle?

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#6 02-10-2017 20:02:55

Fred
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Re : support d'une fonction

Je n'ai pas de moyen mnémotechnique pour retenir que $\overline{\mathbb Q}$ est compact, puisque ce n'est pas un compact! Comme tu l'as écrit toi-même plus haut, $\overline{\mathbb Q}=\mathbb R$ qui est très loin d'être compact!

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#7 02-10-2017 20:29:44

bib
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Re : support d'une fonction

ah oui! l'hadérence d'un ensemble est fermée oui, mais pas bornée!
et avez vous un truc mémo technique pour retenir que $\overline{Q}= \mathbb{R}$? Oui c'est seulement parce que $Q$ est dense dans $\mathbb{R}$?

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#8 02-10-2017 20:59:54

Fred
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Re : support d'une fonction

Ben oui...

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#9 02-10-2017 21:28:53

bib
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Re : support d'une fonction

Si $A$ est dense dans $B$ alors l'adhérence de $A$ dans $B$ c'est $A$. C'est bien ça. Merci beaucoup

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