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#1 23-09-2017 20:17:01

bib
Invité

ajustement d'une fonction teste

Bonjour,
je n'ai aucune idée sur comment résoudre l'exercice suivant: merci de m'aider s'il vous plaît
Soit $\varphi \in C^{\infty}$ avec $Supp\varphi=[-1,1]$, construire uniquement à l'aide de $\varphi$ une fonction $\psi \in C^{\infty}$ avec
$Supp\psi =[-1,1]$ et $\psi =1$ sur $[-\frac{1}{2},\frac {1}{2}]$

#2 23-09-2017 20:55:30

Fred
Administrateur
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Re : ajustement d'une fonction teste

Bonjour

  Je commencerais par intégrer ta fonction pour obtenir unefonction  $ v $  égale à 0 avant -1 et égale à une constante après 1. Ensuite un produit bien choisi du type  $ v(ax+b)v(cx+d) $ avec a positif et c négatif devrait presque te donner le résultat.

Fred

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#3 23-09-2017 21:14:06

bib
Invité

Re : ajustement d'une fonction teste

Qui est v? S'il vous plaît? Et comment avoir eu l'idée d'utiliser v(ax+b) v(cx+d)?

#4 23-09-2017 22:08:41

bib
Membre
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Re : ajustement d'une fonction teste

Donc l'idée est de poser:
$$v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt = \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt$$
Si $x \leq -1$ on a $\varphi(x)=0$ et donc $\forall x \leq -1: v(x)=0$.
Si $x \geq 1$ on a $v(x)= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt = \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt + \displaystyle\int_1^x \varphi(t) dt = \displaystyle\int_1^x \varphi(t) dt$
1. Pourquoi c'est une constante si $x \geq 1$? Moi je trouve que c'est une fonction de $x$.

2. Ensuite, on pose $\psi(x)= v(x) (ax +b) v(x) (cx+d)$ et on détermine $a,b,c,d$ de sorte à avoir $\psi(x)=1, \ \forall x \in [-1/2,1/2]$.Comment on a l'idée de faire un tel choix? Et surtout quelles sont les opérations à faire pour nous permettre de determiner les 4 constantes? Moi je ne vois que deux opérations: $\psi(1/2)=1$ et $\psi(- 1/2)=1$.
Merci par avance pour votre aide.

Dernière modification par bib (23-09-2017 22:15:37)

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#5 24-09-2017 05:13:24

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

J'ai supposé que  $ \varphi $ était positive pour que son intégrale entre -1 et 1 ne soit pas nulle. Ensuite au dela de 1 la fonction v est constante puisque sa dérivée  $ \varphi $  est nulle. Ensuite je choisis a et b pour que  $ v(ax+b) $ soit nulle jusque -1 et constante à partir de -1/2. Puis je choisis c et d pour que  $ v(cx+d) $ soit constante jusque 1/2 et s'annule à partir de 1.

Fred

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#6 24-09-2017 14:55:32

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

1. Au delà de $1$, on a $v(x)= \displaystyle\int_1^x \varphi(t) dt$. comme $v'(x)= \varphi(x)-\varphi(1)=0$, alors on déduit que $v$ est constante pour tout $x \geq 1$. C'est bien ça? Même si dans l'expression de $v$ on voit un $x$?
2. Pouvez vous s'il vous plaît, me donner plus de détails sur la manière de calculer $a, b , c d$. Par exemple, comment exprimer la condition $v(ax+b)$ nulle jusqu'à $-1$ et constante à partir de $-1/2$?

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#7 24-09-2017 19:29:34

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

1. Ouh là!!! T'es tu relu??? Car la dérivée de $v$ n'est pas $\varphi(x)-\varphi(1)$!!!!!!!!

2. v est nulle jusque $-1$ et constante à partir de $1$. Tu veux que $w(x)=v(ax+b)$ soit nulle jusque $-1$ et constante à partir de $-1/2$. Autrement dit, tu veux que -1 joue pour $w$ le rôle de $-1$ pour $v$, et que $-1/2$ joue pour $w$ le rôle que $1$ joue pour $v$. Tu dois donc trouver une application affine $x\mapsto ax+b$ telle que $a(-1)+b=-1$, et $a(-1/2)+b=1$. Ca ne devrait pas être trop difficile!

F.

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#8 24-09-2017 21:36:15

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

Pour le 1, pardon c'est une erreur. On a $v'(x)= \varphi(x)$.
Après je n'arrive pas à suivre. On cherche à construire une fonction teste $\psi$ qui est nulle avant $-1$, après $1$ et vaut 1 sur $[-1/2,1/2]$.
Vous avez proposé de prendre $\psi(x)= v(ax+b) v(cx+d)$. Pourquoi ce choix exactement?
puis vous ne travaillez qu'aves $w(x)= v(ax+b)$. Pourquoi? S'il vous plaît.

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#9 25-09-2017 08:07:40

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

Si je construis une fonction $w$ qui est nulle sur $]-\infty,-1[$ et égale à $1$ sur $[-1/2,+\infty[$ et une fonction $z$ qui est égale à 1 sur $]-\infty,1/2]$ et égale à 0 sur $[1,+\infty[$, il suffit que je fasse le produit $z\times w$.
Je cherche ensuite $a$ et $b$ pour construire une fonction $w(x)=v(ax+b)$ qui vérifie les conditions précédentes.

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#10 26-09-2017 08:19:39

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

Excusez moi Fred, vraiment je suis désolée, mais j'ai du mal à comprendre votre idée à la fin. Voici ce que j'ai compris:
on pose $v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt =  \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt$
on remarque que $v(x)=0, \forall x \leq -1$ et $v(x)= cte, \forall x \geq 1$.
à Partir de $v$, on construit une fonction $\psi$ telle que:
sur  $]-\infty,-1]: \psi(x)=0$ donc sur cet intervalle on peut poser $\psi(x)= v(x)$.
sur $[-1/2, 1/2]: \psi(x)=1$
sur $[-1/2,1]$ et sur $[1/2,1]$ il faut que $\psi$ soit une fonction régulière de classe $C^\infty$
sur $[1,+\infty[: \psi(x)=0$.

Ma question est comment construire $\psi$ sur ces trois derniers intervalles? surtout le fait que $\pŝi$ doit être égale à 1 sur $[-1/2,1/2]$. Je n'ai pas compris l'utilité des fonctions affines $ax+b$ et la multiplication de z par w. Je suis perdue. à partir de ce que j'ai compris, pouvez vous m'aider à comprendre l'idée s'il vous plaît.
Je vous remercie par avance pour votre aide.

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#11 26-09-2017 08:24:53

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

Je ne sais pas comment être plus clair. Tu as une fonction $v$ qui s'annule sur $]-\infty,-1]$ et qui vaut $1$ sur $[1,+\infty[$. Ce n'est pas tout à fait ce qu'on veut, mais on s'en approche. Ma première étape est de construire une fonction $w$ qui vaut 0 sur $]-\infty,-1]$ et $1$ sur $[-1/2,+\infty[$. C'est déjà plus proche de ce qu'on veut. Et ce que je te dis, c'est qu'en choisissant bien $a$ et $b$, la fonction $w(x)=v(ax+b)$ va faire le boulot.

Ensuite, je construis une autre fonction qui s'annule sur $]1,+\infty[$ et vaut $1$ sur $]-\infty,1/2]$. Je l'appelle $z$. C'est très très facile de la construire à partir de $w$.

Et si tu te poses 5 minutes, tu constateras que la fonction $w\times z$ répond au problème posé (regarde ce qu'elle vaut sur $]-\infty,-1]$,etc.....).

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#12 26-09-2017 09:42:11

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

Je pense que mon problème est dans le fait que $v(x)=1, \forall x \in [1,+\infty[$.
1. Si $x \geq 1$ on a $v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^1 \varphi(t) dt = \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt +  \displaystyle\int_1^x \varphi(t) dt =
\displaystyle\int_1^x \varphi(t) dt$
mais $Supp \varphi= [-1,1]$, donc ça vaut 0.
2. malgrès que si on prend la dérivée de $v$ est égale à 0, donc $v(x)$ est constante. Mais même avec ça on ne sait pas ce que vaut la constante.
Je n'arrive pas à raccorder les deux méthodes 1 et 2 pour trouver $v(x)$ pour tout $x \geq 1$, et je ne vois pas non plus comment on trouve que c'est égale à1.
Aidez moi sur ce point s'il vous plaît

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#13 26-09-2017 11:18:39

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

Pourquoi supprimes-tu $\int_{-1}^1\varphi(t)dt$??? Si on a supposé que $\varphi$ est strictement positive sur $]-1,1[$, alors en aucun cas cette intégrale ne pourrait être nulle. J'ai supposé (quitte à multiplier $\varphi$ par une constante), que $\int_{-1}^1\varphi(t)dt=1$.

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#14 26-09-2017 17:51:15

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

Ok, j'ai compris l'idée, merci beaucoup beaucoup.
Il me reste les calculs. On pose $w(x)=v(ax+b)$, et vous avez dit que $w$ nulle jusqu'à -1 et constante à partir de $-1/2$ veut dire que $v(a(-1)+b)=1$ et $v(a(-1/2)+b)=1$. Je ne comprend pas  pourquoi?
Moi je dit que $w$ est nulle en $-1$ veut dire que $v(a(-1)+b)=0$  et $w$ vaut 1 en $-1/2$ veut dire que $v(a(-1/2)+b)=1$. Non?

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#15 26-09-2017 19:03:01

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

Je ne crois pas avoir écrit cela (relis bien mon post #7).
Je suis d'accord avec toi, pour $v(a(-1)+b)=0$ et $v(a(-1/2)+b)=1$.

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#16 26-09-2017 20:10:36

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

Ok, alors on a:
$$
v(a(-1)+b)=0 => \displaystyle\int_{-1}^{-a+b} \varphi(t) dt =0
$$
et
$$
v(a(-1/2)+b)=1 =>  \displaystyle\int_{-1}^{a(-1/2)+b} \varphi(t) dt =1
$$
mais on ne connaît pas une primitive de $\varphi$, alors comment est-ce qu'on peut continuer le calcul? S'il vous plaît.

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#17 26-09-2017 20:18:58

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

Si $a(-1)+b=-1$ et $a(-1/2)+b=1$, tu as les propriétés voulues....

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#18 26-09-2017 20:27:56

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

Super!C'est compris.
J'ai une question s'il vous plaît. Pourquoi avoir choisit exactement d'appliquer $v$ à $ax+b$ pour obtenir ce qu'on cherche?
Et aussi, qu'en est-il des intervalles $[-1/2,1]$ et $[1/2,1]$?

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#19 26-09-2017 20:33:17

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

Parce que si je compare le graphe de $v$ et celui de $w$, je veux faire une homothétie (mais seulement sur l'axe des abscisses) pour passer de l'un à l'autre. Et une homothétie, cela s'écrit bien $x\mapsto ax+b$.

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#20 27-09-2017 07:50:40

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

et pour l'expression de $\psi$ sur les intervalles $[-1/2,-1]$ et $[1/2,1]$? Qu'est ce qu'on dit? S'il vous plaît.

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#21 27-09-2017 08:00:25

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

Je pense que toutes les explications nécessaires sont dans mon post #15.

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#22 28-09-2017 11:32:18

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

Bonjour,
voilà, j'ai rédigé une solution complète.
on pose $v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt$.
On a: $\forall x \leq -1: v(x)=0$ et on pose $\forall x \geq 1: v(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$.
On pose $\psi(x)= v(ax+b)v(cx+d)$ avec $a,b,c$ et $d$ des constantes réelles tels que $\forall x \in ]-\infty,-1]: v(ax+b)=0$,
$\forall x \in [-1/2,+\infty[: v(ax+b)=1$, et $\forall x \in ]-\infty,1/2]: v(cx+d)=1$ et $\forall x \in [1,+\infty[: v(cx+d)=0$.
on trouve que $a=4$, $b=3$, $c=-4$ et $d=3$.
Donc, $$\psi(x)= v(4x+3)v(-4x+3)$$
On remarque que $\psi \in C^\infty(\mathbb{R})$, mais je ne sais pas comment calculer le support, et aussi que dire à propos de la fonction sur les intervalles $[-1,-1/2]$ et $[1/2,1]$ s'il vous plaît.

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#23 28-09-2017 12:01:59

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

bib a écrit :

Bonjour,
voilà, j'ai rédigé une solution complète.
on pose $v(x)= \displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt= \displaystyle\int_{-1}^x \varphi(t) dt$.
On a: $\forall x \leq -1: v(x)=0$ et on pose $\forall x \geq 1: v(x)= \displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$.

Pourquoi ce dernier "on pose". "On sait" serait plus approprié

On pose $\psi(x)= v(ax+b)v(cx+d)$ avec $a,b,c$ et $d$ des constantes réelles tels que $\forall x \in ]-\infty,-1]: v(ax+b)=0$,
$\forall x \in [-1/2,+\infty[: v(ax+b)=1$, et $\forall x \in ]-\infty,1/2]: v(cx+d)=1$ et $\forall x \in [1,+\infty[: v(cx+d)=0$.
on trouve que $a=4$, $b=3$, $c=-4$ et $d=3$.
Donc, $$\psi(x)= v(4x+3)v(-4x+3)$$
On remarque que $\psi \in C^\infty(\mathbb{R})$, mais je ne sais pas comment calculer le support, et aussi que dire à propos de la fonction sur les intervalles $[-1,-1/2]$ et $[1/2,1]$ s'il vous plaît.

Tu n'as qu'à séparer les cas :
* si $x\leq -1$, alors $4x+3\leq -1$ et donc $v(4x+3)=0$, donc $\psi(x)=0$.
* si $x\in]-1,-1/2[$ alors $-1< 4x+3$ et $-1<-4x+3$ ce qui prouve que $\psi(x)\neq 0$.
* si $x\in [-1/2,1/2]$ alors $4x+3\geq 1$ et donc $v(4x+3)=1$ tandis que $-4x+3\geq 1$ et donc $v(-4x+3)=1$. Finalement, $\psi(x)=1$.
* et ainsi de suite....

Je pense qu'il faudrait que tu fasses un dessin avec la fonction v et les fonctions $v(4x+3)$, $v(-4x+3)$ pour comprendre ce qui se passe.

F.

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#24 28-09-2017 17:11:42

bib
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Re : ajustement d'une fonction teste

1. On ne sait pas que $\displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$. On sait seulement que c'est une constante, et on pose cette constante $1$. Non?
2. et sur $[1/2,1]$ comment on trouve $\psi$? S'il vous plaît.
3. Mon souci est que $\psi$ doit est de classe $C^\infty$ aux points $-1/2, -1, 1/2$ et 1. Comment on vois que c'est vérifié? S'il vous plaît.

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#25 28-09-2017 19:09:48

Fred
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Re : ajustement d'une fonction teste

bib a écrit :

1. On ne sait pas que $\displaystyle\int_{-1}^1 \varphi(t) dt=1$. On sait seulement que c'est une constante, et on pose cette constante $1$. Non?

Tu peux aussi poser $v(x)=\frac 1{\int_{-1}^1 \varphi(t)dt}\times\int_{-\infty}^x \varphi(t)dt$.

2. et sur $[1/2,1]$ comment on trouve $\psi$? S'il vous plaît.

Là, je trouve que tu exagères, quelle est la différence par rapport à ce que j'ai fait avant sur les autres intervalles!?!?

3. Mon souci est que $\psi$ doit est de classe $C^\infty$ aux points $-1/2, -1, 1/2$ et 1. Comment on vois que c'est vérifié? S'il vous plaît.

$v$ est $C^\infty$ non? (c'est une primitive d'une fonction $C^\infty$). Donc $\psi(x)=v(ax+b)v(cx+d)$ (pour $x\in\mathbb R$) est de classe $C^\infty$!!! C'est la même formule pour tout $x\in\mathbb R$!!!!!

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