Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 22-09-2017 07:17:28
- Marco11
- Membre
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Propriété sur les hyperplan
Bonjour à tous, S'il vous plaît, je sollicite votre aide pour démontrer que: pour un sous espace vectoriel $H$ d'un espace vectoriel $E$,on a: ($dim(E/H)=1)\Rightarrow(H$ est un hyperplan de$E$). Je ne sais comment démarrer la démonstration.... Merci.
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#2 22-09-2017 08:14:47
- Fred
- Administrateur
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Re : Propriété sur les hyperplan
Bonjour,
Je partirai comme cela. Puisque $\dim(E/H)=1$ il existe $u\in E$ tel que $E/H=\textrm{vect}(\bar u)$, où $\bar x$ désigne la classe de $x$ dans $E/H$. Puis je prouverai que $E=H\oplus \textrm{vect}(u)$.
F.
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#3 22-09-2017 10:40:30
- Marco11
- Membre
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- Messages : 42
Re : Propriété sur les hyperplan
Merci Fred, Est-ce que le fait d'avoir $E=H+vect(u)$ me permet de conclure?Car tout ce que je sais sur les hyperplans c'est la définition : H est hyperplan de E s'il est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E.
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#5 22-09-2017 12:14:21
- Marco11
- Membre
- Inscription : 07-09-2017
- Messages : 42
Re : Propriété sur les hyperplan
D'accord ,merci. Je vais essayer cette approche. Je comprends mieux la fin du raisonnement, mais le début ($dim(E/H)=1 \Rightarrow $ il existe u tel-que $E/H=vect(u)$) m'est un peu floue..... Si je comprends bien,c'est l'existence de u qui va me permettre de démontrer que $E=H+vect(u)$??
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#8 22-09-2017 20:34:06
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 033
Re : Propriété sur les hyperplan
Je dirais comme d'habitude...
Si $x\in H\cap vect(v)$, alors $x=\lambda v$ mais on a aussi $\bar x=0$ puisque $x\in H$ et donc....
Si $x\in E$, alors il existe $\lambda$ tel que $\bar x=\lambda\bar v$, et $x-\lambda v\in H$.
F.
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