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#1 22-09-2017 07:17:28

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Propriété sur les hyperplan

Bonjour à tous,                                                                    S'il vous plaît, je sollicite votre aide pour démontrer que: pour un sous espace vectoriel $H$ d'un espace vectoriel $E$,on a:  ($dim(E/H)=1)\Rightarrow(H$ est un hyperplan de$E$). Je ne sais comment démarrer la démonstration.... Merci.

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#2 22-09-2017 08:14:47

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Propriété sur les hyperplan

Bonjour,

  Je partirai comme cela. Puisque $\dim(E/H)=1$ il existe $u\in E$ tel que $E/H=\textrm{vect}(\bar u)$, où $\bar x$ désigne la classe de $x$ dans $E/H$. Puis je prouverai que $E=H\oplus \textrm{vect}(u)$.

F.

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#3 22-09-2017 10:40:30

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Re : Propriété sur les hyperplan

Merci Fred,                                                                            Est-ce que le fait d'avoir $E=H+vect(u)$ me permet de conclure?Car tout ce que je sais sur les hyperplans c'est la définition : H est hyperplan de E s'il est le noyau d'une forme linéaire non nulle sur E.

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#4 22-09-2017 11:41:25

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Propriété sur les hyperplan

Oui. Ta forme linéaire peut être définie par $\phi(h+\lambda u)=\lambda$ suivant la décomposition $E=H\oplus\textrm{vect}(u)$.

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#5 22-09-2017 12:14:21

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Re : Propriété sur les hyperplan

D'accord ,merci. Je vais essayer cette approche. Je comprends mieux la fin du raisonnement, mais le début  ($dim(E/H)=1 \Rightarrow $ il existe u tel-que $E/H=vect(u)$)  m'est un peu floue..... Si je comprends bien,c'est l'existence de u qui va me permettre de démontrer que $E=H+vect(u)$??

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#6 22-09-2017 13:38:32

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Propriété sur les hyperplan

Oui. L'existence d'un tel $u$ est plus ou moins la définition de $\dim(E/H)=1$.

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#7 22-09-2017 17:00:28

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Re : Propriété sur les hyperplan

OK,merci. je vois: $E/H$ est engendré par une droite vectorielle... Mais s'il te plaît un petit indice sur comment en déduire que : $E=H+vect(v)$ et $H \cap  vect(v)=\emptyset$.

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#8 22-09-2017 20:34:06

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 033

Re : Propriété sur les hyperplan

Je dirais comme d'habitude...

Si $x\in H\cap vect(v)$, alors $x=\lambda v$ mais on a aussi $\bar x=0$ puisque $x\in H$ et donc....

Si $x\in E$, alors il existe $\lambda$ tel que $\bar x=\lambda\bar v$, et $x-\lambda v\in H$.

F.

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#9 23-09-2017 06:40:30

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Re : Propriété sur les hyperplan

C'est compris... Merci bien.

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