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#1 19-09-2017 19:18:25

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 127

Developpement aux limites

Bonsoir,

S'il vous plait je cherche a comprendre comment on fait pour trouver le développement aux limites de [tex]f(x)=\ln(x)[/tex] à l'ordre 3 au point 2

Puis que c'est au point 2 , on fait le changement x=2+h, puis on fait le développement en 0 c'est ca?

Le DL de f est : [tex]f(h)= f(0)+ h f'(0)+\frac{h^2}{2!}f''(0)+\frac{h^3}{3!} f'''(0)+o(h^3)[/tex] c'est ça ?


Ce qui donne

[tex]f(h)=\ln(2+h)=\ln(2)+\ln(1+\frac{h}{2})=\ln(2)+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{8}+\frac{h^3}{24}+o(h^3)[/tex]

est ce que c'est juste ce que j'ai fait ? c'est ca le développement aux limites ?

merci

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#2 19-09-2017 19:45:18

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Developpement aux limites

Bonjour,

  C'est presque cela. Première chose, on ne dit pas développement aux limites, mais développement limité. Ensuite, ce que tu calcules, ce n'est pas $f(h)$, mais $f(2+h)$. Ta dernière ligne doit donc commencer par $f(2+h)=...$.
Enfin, tu as raison pour la formule donnant en général le développement limité d'une fonction. Cela dit, il est des fonctions (dont la fonction logarithme) dont il est bon de connaitre 'par coeur' le développement limité. Tu peux consulter ce formulaire par exemple.

F.

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#3 19-09-2017 19:58:42

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 127

Re : Developpement aux limites

Merci, s'il vous plait si je cherche le développement limité de f(2+h) en 0 c'est [tex]f(2)+\frac{2+h}{1!} f'(2)+\frac{2+h}{2!} f''(2)+...[/tex]

ou [tex]f(0)+\frac{h}{1!}f'(0)+\frac{h}{2!} f''(0)+...[/tex]

Merci

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#4 19-09-2017 22:16:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Developpement aux limites

Ni l'un, ni l'autre.

Le développement limité de $f$ en $2$ est
$$f(x)=f(2)+(x-2)f'(2)+\frac{(x-2)^2}{2!}f''(2)+\dots+o((x-2)^n)$$

En posant $x=2+h$, ceci revient au développement limité de $f(2+h)$ en $0$ qui est donc

$$f(2+h)=f(2)+hf'(2)+\frac{h^2}{2!}f''(2)+\dots+o(h^n)$$

F.

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#5 19-09-2017 22:36:48

convergence
Membre
Inscription : 16-12-2015
Messages : 127

Re : Developpement aux limites

Merci beaucoup,

une dernière question au sujet de cet exemple DL de [tex] \ln(\frac{\sin(x)}{x}[/tex]
[tex]
\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^5)[/tex] ou c'est [tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)[/tex]

ici: http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo

et comment savoir que [tex]o(u^2)=o(x^4)[/tex] est ce que [tex]o(u^2)=o(x^5)[/tex] ?

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#6 20-09-2017 08:32:14

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Developpement aux limites

convergence a écrit :

Merci beaucoup,

une dernière question au sujet de cet exemple DL de [tex] \ln(\frac{\sin(x)}{x}[/tex]
[tex]
\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^5)[/tex] ou c'est [tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)[/tex]

Les deux réponses sont correctes! En effet, il n'y a pas de termes d'ordre 5 dans le dl de $\sin x/x$.
Ainsi,
[tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)[/tex] est le dl à l'ordre 4
alors que
[tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+0x^5+o(x^5)[/tex]  est le dl à l'ordre 5.

ici: http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo

et comment savoir que [tex]o(u^2)=o(x^4)[/tex] est ce que [tex]o(u^2)=o(x^5)[/tex] ?

Parce que $u^2=x^4\left(\frac 1{36}+....\right)$ et donc $u^2$ se comporte comme $x^4$.

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