Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
#1 19-09-2017 19:18:25
- convergence
- Membre
- Inscription : 16-12-2015
- Messages : 127
Developpement aux limites
Bonsoir,
S'il vous plait je cherche a comprendre comment on fait pour trouver le développement aux limites de [tex]f(x)=\ln(x)[/tex] à l'ordre 3 au point 2
Puis que c'est au point 2 , on fait le changement x=2+h, puis on fait le développement en 0 c'est ca?
Le DL de f est : [tex]f(h)= f(0)+ h f'(0)+\frac{h^2}{2!}f''(0)+\frac{h^3}{3!} f'''(0)+o(h^3)[/tex] c'est ça ?
Ce qui donne
[tex]f(h)=\ln(2+h)=\ln(2)+\ln(1+\frac{h}{2})=\ln(2)+\frac{h}{2}-\frac{h^2}{8}+\frac{h^3}{24}+o(h^3)[/tex]
est ce que c'est juste ce que j'ai fait ? c'est ca le développement aux limites ?
merci
Hors ligne
#2 19-09-2017 19:45:18
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Developpement aux limites
Bonjour,
C'est presque cela. Première chose, on ne dit pas développement aux limites, mais développement limité. Ensuite, ce que tu calcules, ce n'est pas $f(h)$, mais $f(2+h)$. Ta dernière ligne doit donc commencer par $f(2+h)=...$.
Enfin, tu as raison pour la formule donnant en général le développement limité d'une fonction. Cela dit, il est des fonctions (dont la fonction logarithme) dont il est bon de connaitre 'par coeur' le développement limité. Tu peux consulter ce formulaire par exemple.
F.
Hors ligne
#3 19-09-2017 19:58:42
- convergence
- Membre
- Inscription : 16-12-2015
- Messages : 127
Re : Developpement aux limites
Merci, s'il vous plait si je cherche le développement limité de f(2+h) en 0 c'est [tex]f(2)+\frac{2+h}{1!} f'(2)+\frac{2+h}{2!} f''(2)+...[/tex]
ou [tex]f(0)+\frac{h}{1!}f'(0)+\frac{h}{2!} f''(0)+...[/tex]
Merci
Hors ligne
#4 19-09-2017 22:16:42
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Developpement aux limites
Ni l'un, ni l'autre.
Le développement limité de $f$ en $2$ est
$$f(x)=f(2)+(x-2)f'(2)+\frac{(x-2)^2}{2!}f''(2)+\dots+o((x-2)^n)$$
En posant $x=2+h$, ceci revient au développement limité de $f(2+h)$ en $0$ qui est donc
$$f(2+h)=f(2)+hf'(2)+\frac{h^2}{2!}f''(2)+\dots+o(h^n)$$
F.
Hors ligne
#5 19-09-2017 22:36:48
- convergence
- Membre
- Inscription : 16-12-2015
- Messages : 127
Re : Developpement aux limites
Merci beaucoup,
une dernière question au sujet de cet exemple DL de [tex] \ln(\frac{\sin(x)}{x}[/tex]
[tex]
\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^5)[/tex] ou c'est [tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)[/tex]
ici: http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo
et comment savoir que [tex]o(u^2)=o(x^4)[/tex] est ce que [tex]o(u^2)=o(x^5)[/tex] ?
Hors ligne
#6 20-09-2017 08:32:14
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Developpement aux limites
Merci beaucoup,
une dernière question au sujet de cet exemple DL de [tex] \ln(\frac{\sin(x)}{x}[/tex]
[tex]
\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^5)[/tex] ou c'est [tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)[/tex]
Les deux réponses sont correctes! En effet, il n'y a pas de termes d'ordre 5 dans le dl de $\sin x/x$.
Ainsi,
[tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+o(x^4)[/tex] est le dl à l'ordre 4
alors que
[tex]\frac{\sin(x)}{x}= 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}+0x^5+o(x^5)[/tex] est le dl à l'ordre 5.
ici: http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo
et comment savoir que [tex]o(u^2)=o(x^4)[/tex] est ce que [tex]o(u^2)=o(x^5)[/tex] ?
Parce que $u^2=x^4\left(\frac 1{36}+....\right)$ et donc $u^2$ se comporte comme $x^4$.
Hors ligne
Pages : 1