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#1 18-09-2017 20:48:26

Minou11
Invité

Limite superieur

Salut, pouvez vous m'aider s'il vous plait:
on considere une fonction croissante et continue f : $\bar{R} \rightarrow \bar{R}$
et une suite $(x_n)_{n \in N}$ et à valeurs dans [tex]\bar{R}[/tex],
Prouver que $f(\bar{\lim_{n}} \ x_n)=\bar{\lim_{n}} \ f(x_n)$
pour le raisonnement, j'ai dit que f est continue en $\bar{\lim_{n}} \ x_n,$ alors
$f(\bar{\lim_{n}} \ x_n)=\lim_{n\rightarrow +\infty}{sup_{k\geq n}f(x_k)}$
Il reste a prouver que $sup_{k\geq n}f(x_k)=f(sup_{k\geq n} \ x_k)$
on peut prouver simplement que $sup_{k\geq n}f(x_k) \leq f(sup_{k\geq n} \ x_k)$
Avez-vous une idée comment verifier que $sup_{k\geq n}f(x_k) \geq f(sup_{k\geq n} \ x_k)$ ?

merci d'avance

#2 19-09-2017 07:20:09

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 706

Re : Limite superieur

Salut,

  Notons $\ell=\sup_{k\geq n}x_k$ et soit $\varepsilon>0$. On va prouver que $\sup_{k\geq n}f(x_k)\geq f(\ell)-\varepsilon$ en utilisant la continuité de $f$ en $\ell$. En effet, il existe $\delta>0$ tel que $|x-\ell|<\delta\implies |f(x)-f(\ell)|<\varepsilon$. Par la définition de la borne supérieure, il existe $k\geq n$ tel que $\ell-\delta\leq x_k$. On a donc $f(x_k)\geq f(\ell)-\delta$ ce qui prouve le résultat annoncé.

F.

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