Forum de mathématiques - Bibm@th.net

hass hass

Membre

Inscription : 14-09-2017

Messages : 2

nombre rationnel

s'il vous plait quelqu'un peut m'expliquer comment demontre que :
              racinecarré de ((5n+1)/(n+1)) est rationnel si et seulement si n=17

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : nombre rationnel

Bonjour,

  Ton énoncé est incorrect. Pour $n=17$, on a $\sqrt{\frac{5n+1}{n+1}}=\frac{\sqrt{43}}3$ qui n'est pas un nombre rationnel (car $\sqrt 43$ ne l'est pas).

F.

hass hass

Membre

Inscription : 14-09-2017

Messages : 2

Re : nombre rationnel

je corrige
      [tex]\sqrt{\frac{ n+15}{n+1}}[/tex] est rationnel si et seulement si n=17

tibo

Membre expert

Inscription : 23-01-2008

Messages : 1 097

Re : nombre rationnel

Salut,

Il y a peut-être plus simple, mais cette méthode fonctionne :

$\sqrt{\dfrac{n+15}{n+1}} \text{ rationnel } \\
\Leftrightarrow \exists p, q,\ \sqrt{\dfrac{n+15}{n+1}}=\dfrac{p}{q} \\
\Leftrightarrow \exists p, q,\ \dfrac{n+15}{n+1}=\dfrac{p^2}{q^2} \\
\Leftrightarrow \exists k, p, q,\ \left\{\begin{array}{l} n+15=kp^2 \\ n+1=kq^2 \end{array}\right. \\
\Leftrightarrow \exists k, p, q,\ \left\{\begin{array}{l} p^2-q^2=\dfrac{14}{k} \\ n+1=kq^2 \end{array}\right. $

Il suffit de tester les différentes valeurs de $k$ possibles.

---

A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

freddy

Membre chevronné

Lieu : Paris

Inscription : 27-03-2009

Messages : 7 457

Re : nombre rationnel

Salut,

autre méthode : étudier la fonction [tex]\sqrt{1+\frac{14}{x+1}}[/tex] sur [tex]\mathbb{R}_+[/tex]. On se fera vite une religion.

---

De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.