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#1 08-09-2017 13:24:06
- Marco11
- Membre
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- Messages : 42
Suite définie comme racine d'un polynôme
Bonjour à tous,
J'étudie la suite ($ U_n $ )définie comme l'unique racine dans $ \mathbb{R}+$ du polynôme $ P_n(X)=X^n+X^{n-1}+...+X-1$. Après avoir montré que $ U_n>=\frac {1}{2}$ pour n $ \in \mathbb{N}*$,et que cette suite est décroissante ,je veux trouver la limite de ($U_n$).Je ne sais comment m'y prendre.
Aidez-moi s'il vous plait.
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#3 08-09-2017 15:55:26
- Marco11
- Membre
- Inscription : 07-09-2017
- Messages : 42
Re : Suite définie comme racine d'un polynôme
Merci pour votre prompte réaction... Cependant,en montrant que pour $ a> \frac{1}{2}$, $P_n(a)>0$ (ce que je n'ai pas pu montrer jusqu'ici) ,celà me permet d'avoir les inégalités : $\frac{1}{2}\leq U_n<a $ . Qu'est ce que je peux en déduire (et si possible comment comment montrer que $ p_n(a)>0 $) s'il vous plait ?
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#4 08-09-2017 22:52:57
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Suite définie comme racine d'un polynôme
Re,
Pour démontrer que $P_n(a)>0$, tu peux calculer $P_n(a)$ en utilisant la somme des termes d'une série géométrique. Après, tu as démontré que pour tout $\varepsilon>0$ (en posant $a=\varepsilon+1/2$), on a $1/2\leq u_n\leq \varepsilon+1/2$ dès que $n$ est assez grand....
F.
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