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#1 08-09-2017 13:24:06

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Suite définie comme racine d'un polynôme

Bonjour à tous,                                                                   

J'étudie la suite ($ U_n $ )définie comme l'unique racine dans $ \mathbb{R}+$ du polynôme $ P_n(X)=X^n+X^{n-1}+...+X-1$. Après avoir montré que $ U_n>=\frac {1}{2}$ pour n $ \in \mathbb{N}*$,et que cette suite est décroissante ,je veux trouver la limite de ($U_n$).Je ne sais comment m'y prendre.                                                                   
Aidez-moi  s'il vous plait.

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#2 08-09-2017 13:28:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Suite définie comme racine d'un polynôme

Bonjour,

  Considère $a>1/2$, et vérifie que, pour $n$ assez grand, $P_n(a)>0$. Cela devrait te dire quelque chose sur la position de $U_n$ par rapport à $a$.

F.

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#3 08-09-2017 15:55:26

Marco11
Membre
Inscription : 07-09-2017
Messages : 42

Re : Suite définie comme racine d'un polynôme

Merci  pour  votre prompte réaction...                          Cependant,en montrant que  pour $ a> \frac{1}{2}$, $P_n(a)>0$ (ce que je n'ai pas pu montrer jusqu'ici) ,celà me permet d'avoir les inégalités : $\frac{1}{2}\leq U_n<a $ . Qu'est ce que je peux en déduire (et si possible comment comment montrer que $ p_n(a)>0 $) s'il vous plait ?

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#4 08-09-2017 22:52:57

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Suite définie comme racine d'un polynôme

Re,

  Pour démontrer que $P_n(a)>0$, tu peux calculer $P_n(a)$ en utilisant la somme des termes d'une série géométrique. Après, tu as démontré que pour tout $\varepsilon>0$ (en posant $a=\varepsilon+1/2$), on a $1/2\leq u_n\leq \varepsilon+1/2$ dès que $n$ est assez grand....

F.

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