Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 06-09-2017 12:23:17

nico0
Invité

coordonnées d'un vecteur

Bonjour,

Pouvez vous m'expliquez pourquoi dit on que :

les coordonnées du point M sont (-1;4) donc les coordonnées de vecteur u sont

$\begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}$

#2 06-09-2017 12:51:24

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : coordonnées d'un vecteur

Bonjour,

N'ayant aucune information sur ton vecteur $\overrightarrow{u}$, il est difficile de te répondre.

Peut-être fais-tu référence à la définition des coordonnées d'un vecteur :
Soit $(O,I,J)$ un repère orthonormé, $\overrightarrow{u}$ un vecteur et $M$ l'image de $O$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{u}$.
Si $M$ a pour coordonnées $(x,y)$, alors par définition les coordonnées de $\overrightarrow{u}$ sont $\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)$.

C'est une définition... il n'y a pas grand chose à expliquer. C'est comme ça qu'on définit les coordonnées d'un vecteur.

Graphiquement, ça se voit assez bien.
Si les coordonnées de $M$ sont $(x,y)$, alors pour me déplacer du point $O$ au point $M$, je dois parcourir $x$ vers la droite (vers la gauche si $x$ négatif) puis monter (ou descendre) de $y$.
Du coup, vu qu'un vecteur représente un déplacement, c'est assez naturel de lui donner les coordonnées de ce déplacement.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Hors ligne

#3 06-09-2017 13:32:36

nico0
Invité

Re : coordonnées d'un vecteur

Bonjour Tibo

merci de me répondre aussi vite !

J'ai du mal à me familiariser avec les vecteurs

D'après la définition, on construit un vecteur que l'on appelle le vecteur u
ensuite je place un point M tel que $\overrightarrow{u}= OM$
c'est à dire OM est un représentant de ce vecteur (jusque là, ça va)

Si je trace le vecteur $\overrightarrow{u}$ avec Geogebra
et un point M tel que OM = $\overrightarrow{u}$

Les deux vecteurs n'ont pas les memes coordonnées, je ne comprends pas pourquoi on dit que M (x,y) a les memes coordonnées que $\begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}$

#4 06-09-2017 16:15:51

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 944

Re : coordonnées d'un vecteur

Re,

Je n'ai pas très bien compris là...

Si $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}$ alors $\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{u}$ ont les mêmes coordonnées...
(C'est même une équivalence !)

Il faudrait que je vois ton graphique sur Geogebra pour comprendre où est ton problème.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Hors ligne

#5 07-09-2017 10:33:11

Nico0
Invité

Re : coordonnées d'un vecteur

Bonjour monsieur

Dans la définition des coordonnées d'un vecteur
On définit un vecteur $\overrightarrow{u}$ et un vecteur $\overrightarrow{OM}$
Comme $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OM}$ avec même direction, même sens, même longueur donc les coordonnées sont les mêmes
Mais si le vecteur $\overrightarrow{OM}$ n'a plus pour origine 0
s' il a alors le point M a des coordonnées différentes

#6 07-09-2017 11:40:53

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : coordonnées d'un vecteur

Salut,

Ne pas confondre coordonnées d'un point et coordonnées d'un vecteur.
Tu as toi-même (c'était bien) évoqué la notion de représentant.
Supposons le point M(-1 ; 4).
Les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{OM}[/tex] sont les mêmes que celles du point M, puisque O(0 ; 0)...
Si tu prends un vecteur [tex]\vec u = \overrightarrow{OM}[/tex]n les coordonnées de [tex]\vec u[/tex] resteront les mêmes où qu'il soit dans le plan...

Mais si le vecteur $\overrightarrow{OM}$ n'a plus pour origine O

1. S'il n'a plus pour origine O, il ne s'appelle plus $\overrightarrow{OM}$...
2. Supposons qu'il s'appelle $\overrightarrow{BM'}$ avec, par exemple, B(3 ; -1)
    Pour que l'on ait encore $\overrightarrow{BM'}=\vec u = \overrightarrow{OM}$, les coordonnées du point M' seront (2 ; 3)...
    Pourquoi ?
    Soit [tex]M'(x\, ;\, y)[/tex].
    Puisque j'ai choisi [tex]B\begin{pmatrix} 3\\-1\end{pmatrix}[/tex] alors [tex]\overrightarrow{BM'}\begin{pmatrix} x-3\\y+1\end{pmatrix}[/tex].
   Je dois donc résoudre : [tex]B\begin{pmatrix} x-3\\y+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}[/tex]
    C'est à dire : [tex]\begin{cases}x-3&=-1\\y+1&=4\end{cases}[/tex]
    D'où M'(2 ; 3)...

Là, j'ai pris ta problématique dans l'autre sens :
Etant donné un vecteur[tex] \vec u =\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}[/tex], quelles sont les coordonnées du point M tel que [tex]\overrightarrow{BM}=\vec u[/tex], sachant que l'on a B(3 ; -1) ?

Tu peux constater que si tu places B en O(0 ; 0), tu as bien  M(-1; 4)

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#7 08-09-2017 10:06:45

nico0
Invité

Re : coordonnées d'un vecteur

Bonjour monsieur,

merci beaucoup pour vos explications

Je n'ai pas bien compris pourquoi vous avez mis la lettre B devant $B\begin{pmatrix} x-3\\y+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}$

Pouvez vous m'expliquez ? s'il vous plait

#8 08-09-2017 11:40:17

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : coordonnées d'un vecteur

Salut,

Mais, c'est tout simple, c'est la conséquence d'un copier/coller pas "propre" :
j'aurais dû écrire : [tex]\overrightarrow{BM'}\begin{pmatrix}x-3\\y+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}[/tex]
et même, à la réflexion, la présence de la mention [tex]\overrightarrow{BM'}[/tex] n'était tout à fait utile...
Toutes mes excuses !

Sinon, à part ça, tout est clair maintenant ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#9 08-09-2017 14:49:04

nico0
Invité

Re : coordonnées d'un vecteur

Bonjour,

en fait c'est la définition que je ne comprends pas bien

On définit un repère orhtonormé, un vecteur $\overrightarrow{u}$ et un point M tel que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OM}$

Donc $\overrightarrow{OM}$  est donc le  représentant de ce vecteur $\overrightarrow{u}$


ensuite on dit dans la définition :


On appelle coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ le couple $\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}$

Les coordonnées du vecteur u sont les memes que celles du point M

-----------------------
Est ce que le but de cette définition est de dire que un vecteur a pour coordonnées $\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}$ ??

et pour cela on se base sur les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{OM}$ qui a pour origine , l'origine du repère

est ce que c'est ce qu'il faut comprendre ?

#10 08-09-2017 17:12:02

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 11 386

Re : coordonnées d'un vecteur

Bonjour,

Donc $\overrightarrow{OM}$  est donc le  représentant de ce vecteur $\overrightarrow{u}$

Ce n'est pas juste : ce n'est pas le représentant, mais UN représentant ! Il y en a bien d'autres...

Cela dit, je trouve la définition bien mal foutue. Apparemment, elle engendre des confusions...
Ici les coordonnées de [tex]\vec u[/tex] sont les mêmes que celle de M (et réciproquement) parce que [tex]\overrightarrow {OM}[/tex] a pour origine O.
Tu vois bien ce que je t'avais écrit :
Étant donné un point B (3 ;-1) les coordonnées du point M', tel que [tex]\overrightarrow{BM'} = \vec u \begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}[/tex] sont :  M'(2 ; 3)
et ces coordonnées sont différentes de celles de [tex]\vec u[/tex]...

Étant donné deux points [tex]A(x_A\,;\,y_A)[/tex] et [tex] B(x_B\,;\,y_B)[/tex],
* les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] sont [tex]\begin{pmatrix}x_B-x_A\\ y_B-y_A\end{pmatrix}[/tex]

* les coordonnées du vecteur [tex]\overrightarrow{BA}[/tex] sont [tex]\begin{pmatrix}x_A-x_B\\ y_A-y_B\end{pmatrix}[/tex]

Considérons un repère orthonormé et trois vecteurs [tex]\vec u,\;\vec v,\; \vec w[/tex] tels que  [tex]\vec u=\vec v=\vec w[/tex], les coordonnées de ces trois vecteurs sont les mêmes... Ce sont trois représentants du même vecteur...
Je considère les coordonnées d'un vecteur de coordonnées [tex]\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}[/tex], combien y a -t-il  de vecteurs ayant ces coordonnées et où sont-ils ?
La réponse : leur nombre est infini...
Où sont-ils ? partout et n'importe où dans le plan...
Si tu prends un point B(3; -1) tu trouveras par contre un vecteur représentant ayant ces coordonnées et pour origine B...
Si tu changes d'origine, par exemple C(3;5), tu trouvera un autre vecteur représentant égal au précédent.
Tu peux même décider que ces points B et C sont non pas des origines mais des extrémités : tu trouveras aussi deux vecteurs égaux aux précédents...
Ces 4 vecteurs sont des représentants (parmi d'autres) du vecteur de coordonnées  [tex]\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}[/tex]...
Pa contre, il n'existe qu'un point M tel que [tex]\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}[/tex]
et ses coordonnées sont justement, dans ce cas, [tex]\begin{pmatrix}-1\\ 4\end{pmatrix}[/tex]
Mais [tex]\overrightarrow{OM}[/tex] est aussi un représentant - particulier - du vecteur en question, particulier puisque d'origine O...

Imagine une classe, mettons de 2nde 3, composés de 26 élèves : a, b, c, d, e..., z
Après l'élection du délégué de classe et de son suppléant, disons b et s, lorsque l'administration aura un rapport avec les délégués b ou s, elle ne parlera pas aux individus b et s, mais à la classe de 2nde, par le biais de ses représentants...
Et si c'était a et f ce serait la même chose...

Ne te casse pas trop la tête avec ça : tout ça s'éclaircira avec la suite et tu n'y penseras même plus.
La notion essentielle est celle de représentant... Tous les représentants d'un même vecteur sont égaux et interchangeables..., pas les points ! Donner les coordonnées d'un point entraîne la connaissance d'un point unique.

Je pourrais t'en dire plus, mais
- je ne veux interférer avec ton cours,
- te faire te poser plus de questions que je n'en éclaircis...^_^

Est-ce que c'est plus clair, ou est-ce que je t'ai embrouillé ?

Lorsque j'étais Lycéen, on ne parlait pas des coordonnées de vecteurs, mais de ses composantes... coordonnées était un mot réservé aux points...
Puis un jour, le vocabulaire a changé...
Je le regrette un peu, mais j'ai fait avec et, personnellement, ça ne me pose pas de problème particulier...


@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de cette opération? 3*3=

Pied de page des forums