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- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 18-08-2017 20:06:58
- Loris Chavée
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- Lieu : Andenne, Belgique
- Inscription : 17-08-2017
- Messages : 10
Problème extrema de fonction à plusieurs variables
Bonsoir à tous,
je suis confronté à un problème qui est le suivant:
Soit [tex]f:R^2 \rightarrow R[/tex] telle que [tex]f(x,y)=8 \exp(xy)+x^2+4y[/tex]
a) Montrez que, pour tout [tex](x,y) \in R^2,\ (x,y)[/tex] est un point stationnaire si et seulement si:
[tex] 4y \exp(xy)+x=0[/tex] et [tex]x^2=4y^2[/tex]
b) Trouvez les points stationnaires de f et déterminez leur nature.
Au point a), j'ai réussi à prouver que [tex] 4y \exp(xy)+x=0[/tex] en dérivant la fonction par rapport à x. Par contre, je n'arrive pas à démontrer que [tex]x^2=4y^2[/tex]. Pour avoir un point stationnaire, je sais que la matrice Jacobienne en ce point doit être la matrice nulle. Or, même en dérivant par rapport à y, je ne vois pas comment avoir [tex]x^2=4y^2[/tex].
Au point b), j'ai trouvé un seul point stationnaire, le point [tex](0,0)[/tex]. Le soucis ici, c'est que le déterminant de la matrice Hessienne de la fonction [tex]f(x,y)[/tex] évaluée au point [tex](0,0)[/tex] vaut 0. De fait, je dois inspecter le comportement de la fonction dans une boule ouverte centrée en (0,0) et de rayon [tex]\epsilon > 0[/tex]mais je ne sais vraiment pas comment faire...
Quelqu'un veut-il bien m'aider s'il vous plait ?
Merci d'avance !
Dernière modification par Loris Chavée (18-08-2017 20:31:53)
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#2 19-08-2017 00:36:27
- Fred
- Administrateur
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- Messages : 7 047
Re : Problème extrema de fonction à plusieurs variables
Bonjour,
Si tu dérives par rapport à $y$, tu trouves que $8x\exp(xy)+4=0$. Mais tu sais exprimer $\exp(xy)$ en fonction de $x$ et de $y$ d'après ta première équation que tu as trouvé, et tu trouveras la seconde.
Pour la deuxième partie, en inspectant $f(0,y)$, je pense que tu peux démontrer que $(0,0)$ n'est ni un minimum, ni un maximum pour $f$.
F.
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#3 19-08-2017 13:28:56
- Loris Chavée
- Membre
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- Messages : 10
Re : Problème extrema de fonction à plusieurs variables
Bonjour,
En isolant [tex]\exp(xy)[/tex] j'obtient [tex]\exp(xy)=\frac{-x}{4y}[/tex]. Ensuite, si j'injecte ça dans la seconde équation, j'obtiens [tex]\frac{-8x^2}{4y}+4=0[/tex] et finalement [tex]x^2=y[/tex]. Où me suis-je trompé ? Une bête erreur algébrique ?
Pour prouver que [tex](0,0)[/tex] n'est pas un minium local, il faut trouver deux points [tex](x_1,y_1)\ et\ (x_2,y_2)[/tex] strictement positifs tels que [tex]f(x_1,y_1)-f(0,0)[/tex] et [tex]f(x_2,y_2)-f(0,0)[/tex] soient de signes opposés. Or, ce n'est pas possible vu que [tex]\forall (x,y)\
tels\ que\ x>=0\ et\ y>=0[/tex] on a que la fonction est plus grande ou égale à 8 ! Suis-je entrain de passer à côté de quelque chose ?
Voici le graphe de cette fonction. le point (0,0) est en rouge:
Sauriez-vous m'indiquer où est mon erreur s'il vous plait ? Merci beaucoup du coup de pouce!
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#5 19-08-2017 15:28:33
- Loris Chavée
- Membre
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- Messages : 10
Re : Problème extrema de fonction à plusieurs variables
En effet j'avais mal compris la définition qui est que: [tex]\forall \epsilon >0,\ \exists x,y\ \in B(a,\epsilon): f(x)-f(a)\ et\ f(y)-f(a) [/tex] sont de signes opposés, alors a est un point selle de la fonction. de fait si on prend (1,1) et (0,-1), on aura trouvé un rayon [tex]\epsilon =1[/tex] tel que les conditions sont remplies! Reste plus qu'à le prouver pour tout [tex]\epsilon[/tex].
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