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siwi123

Invité

Bonne majoration

Bonjour,

On considère
[tex]I(r,\lambda)=\int_0^{+\infty}(r^2\lambda)^{2/3}e^{-2f(t)\lambda}e^{-2tr^{2/3}}dt[/tex]

où [tex]f(t)=\frac{t}{2}-Argsh(\frac{1}{r}|sin(\frac{tr}{2})|)[/tex] pour tout [tex]t\ge 0[/tex]

Je veux montrer qu'il existe une constante [tex]c>0[/tex] tel que  [tex]I(r,\lambda)\le ce^{r^{2/3}}[/tex] pour tout [tex]r> 1[/tex] et pour tout [tex]\lambda>0[/tex].

Pour cela je croit qu'il faut tout d'abord trouver une bonne majoration pour [tex]f(t)[/tex].

De mon coté j'ai trouvé les majorations suivantes:

[tex]f(t)\ge \frac{t}{2\pi}\;\text{ si }\; \frac{tr}{2}\ge \frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]f(t)\ge\frac{r^2t^3}{6\pi^3}\;\text{ si }\; \frac{tr}{2}\le \frac{\pi}{2}[/tex]

A partir de cette majoration j'ai divisé l’intégral [tex]I(r,\lambda)[/tex] en deux intégrales:

[tex]I_1(r,\lambda)=\int_0^{\frac{\pi}{r}}(r^2\lambda)^{2/3}e^{-2f(t)\lambda}e^{-2tr^{2/3}}dt[/tex]
$$I_2(r,\lambda)=\int_{\frac{\pi}{r}}^{+\infty}(r^2\lambda)^{2/3}e^{-2f(t)\lambda}e^{-2tr^{2/3}}dt$$

Cette majoration peut elle aboutir au résultat cherché? Merci de m'aider.

siwi123

Invité

Re : Bonne majoration

Voici ce que j'ai essayé de faire:
[tex]\begin{align*}
I_2(r,\lambda)=\int_{\frac{\pi}{r}}^{+\infty}(r^2\lambda)^{2/3}e^{-2f(t)\lambda}e^{-2tr^{2/3}}dt
\\&\le \int_{\frac{\pi}{r}}^{+\infty}(r^2\lambda)^{2/3}e^{-\frac{t\lambda}{\pi}}e^{-2tr^{2/3}}dt
\\&=\frac{(r^2\lambda)^{2/3}e^{-\frac{\lambda}{r}}e^{-\frac{\pi}{r^{1/3}}}}{\frac{\lambda}{r}+\frac{\pi}{r^{1/3}}}
\\&\le \frac{(r^2\lambda)^{2/3}e^{-\frac{\lambda}{r}}e^{-\frac{\pi}{r^{1/3}}}}{\frac{\lambda}{r}} =(\frac{r^7}{\lambda})^{1/3}e^{-\frac{\lambda}{r}}e^{-\frac{\pi}{r^{1/3}}}\end{align*}[/tex]

Merci de m'aider à continuer.