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azerty98

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séries et équivalent, comparaison

Bonjour à tous, je suis en prépa ece et je suis nulle en maths.
je passe en 2 eme année et j'essaye de prendre un peu d'avance mais je bloque sur le chapitre "compliments sur les séries" qui correspond au théorème de comparaison, d'équivalence et de négligeabilité, convergence absolue.

j'ai trouvé un exercice, j'ai la solution aussi mais je ne la comprends pas.( je poste seulement le 1 er calcul ou je peux poster les 3 autres aussi ?)

voici le 1 er calcul:
Etudier la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants ( en cas de convergence, on n'en demande pas la somme)

  [ tex] \frac{n^2+1}{(2n+1)^3} [ /tex]

(je suis désolée mais je n'arrive pas à bien l'écrire sous latex,)
mais comment faire?
je pensais décomposer en faisant 1/ (2n+1)^3
je pensais que c'était une série de riemann mais dans la correction il ne font pas comme ça et passe par les équivalents.

je peux poster les 3 autres calculs ensuite?
merci à vous d'avoir pris le temps de lire le message

NicoTial

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Re : séries et équivalent, comparaison

Alors il faut donc s'intéresser à [tex] u_{n}=\frac{n^{2}+1}{(2n+1)^{3}}[/tex].
La méthode la plus simple et la pus rapide dans ce cas c'est les équivalents : pourquoi as-tu le droit ? (je te laisse y répondre)
Donc l'équivalent de cette suite sera du type [tex]n^{\alpha}[/tex]. Donc cela va être à rapprocher d'une série de Riemann.

Pour ta méthode : si j'ai bien compris tu souhaitais transformer [tex]u_{n}=\frac{n^2}{(2n+1)^{3}}+\frac{1}{(2n+1)^{3}}[/tex]. Et ensuite que voulais-tu faire ? (Rappel :la somme d'équivalent est interdit).

azerty98

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Re : séries et équivalent, comparaison

bonjour, merci de ta réponse.

1)justement pourquoi la méthode la plus simple et la plus rapide  c'est les équivalents??  je sais qu'il y' a le critère de comparaison et de négligeabilité aussi mais comment savoir?
2)"pourquoi as-tu le droit ?" car les termes sont positifs?

3)ensuite , pourquoi  l'équivalent serait de ce type?

je voulais la transformer de la sorte pour dire que 1/(2n+1)^3 était convergente  car série de Riemann (avec 3>1)

NicoTial

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Re : séries et équivalent, comparaison

2) oui c'est ça, c'est à cause du fait que les termes sont positifs (chose à dire quasi à chaque fois lorsque tu utilises ces théorèmes, car ça peut être un piège d'un examinateur).
1) Pourquoi c'est le plus simple ? Car ici, nous avons une fraction dont on voit tout de suite les équivalents et donc on peut conclure quasiment tout de suite. De plus, utiliser les équivalents permet de réduire de façon significative une expression qui à l'air de prime abord pas simple. Comment savoir ? Si tu vois une fraction ou des multiplications de termes, il faut sauter dessus, parce que les équivalents fonctionnent très bien avec ce type d'opération ( attention aux sommes ! ).

3) pourquoi l'équivalent est de ce type : il suffit de regarder ton expression : détermine l'équivalent du numérateur et celui du dénominateur et tu verras que c'est de ce type (ce qui t'arrange beaucoup ! ).

4)oui mais le problème avec ta méthode c'est que le deuxième terme [tex]\frac{n^{2}}{(2n+1)^{3}}[/tex] n'a pas une série convergente... donc ce n'est pas forcément une bonne idée de séparer les fractions... en sachant de plus que tu ne peux pas additionner les équivalents...donc ce n'est pas franchement une bonne piste. (si tu n'es pas convaincu, écris moi proprement ta démonstration du début à la fin et je te dirais précisément ce qui ne va pas).

azerty98

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Re : séries et équivalent, comparaison

ok merci beaucoup!!
A bientôt