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Labrousse

Invité

Suite Un avec factorielle

Bonjour, je rencontre un problème sur un exercice d'approfondissement :
Soit une suite Un+1 définie par Un+1=(n+2)Un+(n+1)!. Exprimer Un en fonction de n.

Alors je me doute que dans Un il y aura (n+1)! en raison de l'hérédité mais ça ne suffit pas alors il faudrait trouvé  Un=(n+1)!-K+N  j'ai réfléchi que ça devrait avoir cette forme là car on aurait Un+1=(n+2)!-K(au rang +1)+N(au rang +1)  et  Un+1=(n+2)((n+1)!-K+N)+(n+2)K-(n+2)N+K(au rang +1)+N(au rang +1)  et on aurait  (n+2)K-(n+2)N+K(au rang +1)+N(au rang +1)=(n+1)!  alors après il faut déterminer la forme de K et N et c'est là le problème de ma méthode car N et K ne sont pas des inconnues sur lesquelles on peut travailler (j'ai également regardé si l'on ne pouvait pas modifier les propriétés des suite arithmético-géométrique pour résolver cette forme de suite, mais à mon avis (n+2) et (n+1)! n'étant pas constant ça s'annoncerait compliqué) . Alors j'ai aussi remarquer que cette suite Un représentait Somme de k=1 à n de (n!)/k. Auriez-vous une piste s'il vous plaît? j'ai l'impression de stagner un peu.

Fred

Administrateur

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Messages : 7 048

Re : Suite Un avec factorielle

Bonjour,

  Si tu ne nous donnes pas la valeur de $u_0$, ça va être difficile de t'aider!

Fred.

Labrousse

Invité

Re : Suite Un avec factorielle

Bien sur Fred ! excusez-moi j'ai noté assez rapidement : U0=1 et si ça peut servir, j'ai les valeurs suivantes : U1=3 U2=11 U3=50 U4=274 etc...

tibo

Membre expert

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Messages : 1 097

Re : Suite Un avec factorielle

Salut,

Je te propose la méthode suivante (il y a peut-être plus rapide) :
J'ai commencé par écrire $U_n=(n+1)\left(U_{n-1}+\dfrac{n!}{n+1}\right)$.
Puis on remplaçant $U_{n-1}$ par une expression du même type et on factorise.
Et on descend comme ça jusqu'au rang 0.

▼Texte caché

Sauf erreur de calcul, on obtient [tex]U_n=(n+1)!\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k}[/tex]

Dernière modification par tibo (12-06-2017 19:12:52)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Labrousse

Invité

Re : Suite Un avec factorielle

Salut,

Je te propose la méthode suivante (il y a peut-être plus rapide) :
J'ai commencé par écrire $U_n=(n+1)\left(U_{n-1}+\dfrac{n!}{n+1}\right)$.
Puis on remplaçant $U_{n-1}$ par une expression du même type et on factorise.
Et on descend comme ça jusqu'au rang 0.

▼Texte caché

Sauf erreur de calcul, on obtient [tex]U_n=(n+1)!\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac{1}{k}[/tex]

Salut Tibo! Merci de ton aide, ta méthode est efficace et c'est vrai que je n'avait pas pensé à faire cette manœuvre pour avoir une expression de Un que l'on peut sans trop de difficultés exprimer en fonction de n par la suite. j'ai aussi réussi par méthode analogue à montrer que Un+1 représentait la forme non simplifiée (du numérateur) de la somme de l'inverse des entiers allant de k=1 à n+1 ainsi on a : Un/(n+1)! égale la somme de l'inverse des entiers de 1 à n ainsi en multipliant les deux membres de l'équation par (n+1)! on obtient Un=(n+1)!*(Somme de l'inverse des entiers de 1 à n+1), mais j'admet que ça m'a pris beaucoup plus de temps, surtout à y réfléchir (j'ai tendance à beaucoup compliquer certains problèmes lorsque ce sont des exercices non guidés).

Ps: Tes calculs sont justes :) et désolé de ne pas utiliser les outils pour exprimer les signes mathématiques, je viens d'arriver sur ce site, je ne le connaissais pas avant ^^