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PTRK

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Relations entre fonction

Bonjour à tous, je viens vous demander un peu d'aide sur le problème suivant:

Soit un maillage triangulaire surfacique fermé dans $\mathbb R^3$, dont nous nommons les éléments (triangulaire donc) $K_k, 1<k<N_K$, dont l'aire est notée $|K_k|$ . Soit $x$ un point sur un triangle.
On définit la fonction vectorielle RWG(Rao-WIlton-Glisson) associée à une arête $v_j, j = 1,2,3,$ de ce triangle par  $\phi_j(x) = \dfrac{x-o_j}{2|K_k|}$ où $o_j$ est le dernier sommet du triangle (qui ne soit pas à un bout de $v_j$). Cette fonction est de valeur opposée sur l'unique autre triangle qui possède l'arête $v_j$ en commun et nulle partout ailleurs.
On définit une autre fonction $p_j(x) = -n(x) \times \phi_j(x)$ où n est la normale sortante unitaire du maillage et $\times$ le produit vectoriel de $\mathbb R^3$.

On a donc $\phi_i, p_j$ des vecteurs tangents et $n$ normal au triangle et $(\phi,n,p)$ forme un base orthogonale.

cf schéma : https://www.overleaf.com/read/gbkpkhjzbhht

Mon tuteur a écrit dans ses papiers que $\int \phi_i \cdot \phi_j = - \int p_i \cdot p_j$.

Or je trouve : Soit K un triangle du maillage, n la normale à ce triangle
[tex]
\begin{align*}
\int_K p_i \cdot p_j &= \int_K (-n \times \phi_i) \cdot (-n \times \phi_j) \\
&= \int_K (n \times \phi_i) \cdot (n \times \phi_j) \\
& = \int_K \phi_j \cdot (n \times \phi_i \times n) \text{ c'est un produit mixe $(a\times b)\cdot c = c\cdot (a\times b)$} \\
& = \int_K \phi_i \cdot \phi_i \text{ puisque $\phi_i$ est tangent à la surface dont $n_k$ est normal}\\
\end{align*}
[/tex]

Soit le résultat opposé ...

Dernière modification par PTRK (31-05-2017 15:54:49)

Fred

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Re : Relations entre fonction

Bonjour,

  Sans suivre tes calculs, mais en y réfléchissant de façon "géométrique" (par exemple, en supposant que $\phi_i$ et $\phi_j$ sont orthogonaux à $n$, je ne vois pas pourquoi il faudrait mettre un signe moins!

F.

PTRK

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Re : Relations entre fonction

$\phi_i$ est bien orthogonal à n.  Ok, je vais vérifier du coup toutes les équations pour voir ce que ca change sur les résultats.

Dernière modification par PTRK (01-06-2017 08:55:19)