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#1 04-05-2017 19:12:09

raphael.cr
Invité

groupe

salut, j'ai besoin de votre aide pour resoudre ces deux questions :
1) Soit G le sous groupe de $SL_2(R)$ (groupe speciale lineaire forme des matrices triangulaires superieurs.
Trouver tous les sous-groupes de G d'ordre fini.
2) Prouver que $(Z/2Z)^3 \ et \ Z/4Z \times Z/2Z$ sont non isomorphes.

Pour la premiere question j'ai raisonner de la facon suivante :
Soit H un sous-groupe de G d'ordre fini n et soit $X \in G.$ alors X s'ecrit sous la forme :
$X=\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}.$
On connait que $X^n=I_2.$  d'ou il faut chercher $X^n$.
on peut prouver par reccurrence que pour tout $n \in N^*-{\left\{1 \right\}},$
$X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}$
Pour n=2;
$X^2=\begin{pmatrix}q^2 &kq+\frac{k}{q} \\ 0 & \frac{1}{q^2} \end{pmatrix},$ ce qui est vrai.
On suppose que $X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix},$
prouvons que $X^{n+1}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
$X^{n+1}=X^nX=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &kq^n+k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
on distingue deux cas si n est impair, alors $X^n=I_2$ donne q=1 et k=0. Donc $X=I_2$.
si n est pair alors $X \in \left\{I_2,-I_2 \right\}$
D'ou les sous groupes d'ordre fini de G sont $\left\{I_2,-I_2 \right\}$ et $\left\{-I_2 \right\}$.

ce raisonnement est-il correcte ? et pour la question 2 comment prouver que ces deux groupes sont non isomorphes?

merci d'avance.

#2 04-05-2017 20:11:02

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : groupe

Bonsoir,

J'ai pas le temps de regarder la question 1...
Pour la 2, regarde éventuellement l'ordre des éléments de chacun de tes deux groupes !

Roro.

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#3 04-05-2017 20:36:05

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : groupe

Bonsoir,
Moi, je n'ai pas compris le début du 1). D'où vient ce "alors $X=...$" pour un $X \in H$ (j'ai corrigé, tu as écris : soit $X\in G$).
D'autre part, tu écris que les matrices de $SL_2(\mathbb{R})$ sont triangulaires, pour moi, ce sont des matrices de déterminant $1$ non ?

Pour le 2), pareil que Roro. Les isomorphismes conservent l'ordre des éléments. Il faut montrer que ce n'est pas possible.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#4 04-05-2017 20:42:51

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : groupe

Bonsoir,

Pour Yassine : $G$ est le sous-groupe de $SL_2(\mathbb R)$ des matrices triangulaires supérieures, d'où la forme de la matrice $X$.

Je crois que le 1. est correct, si ce n'est qu'à la fin tu as écrit $\{-I_2\}$ au lieu de $\{I_2\}$.

F.

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#5 04-05-2017 20:52:07

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : groupe

My bad, j'avais mal lu !


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#6 04-05-2017 22:08:31

Raphael.cr
Invité

Re : groupe

Bonsoir, G est un sous groupe de $SL_2(R)$ et G est formé de des matrices triangulaires sup.
Et à la fin, j'ai fait une faute de dictée. Je veux ecrire {$I_2$}.
Mais ce qui m'interesse si la methode est correcte
Et pour la deuxieme question il existe un element de$Z/4Z \times Z/2Z$ est 4 et l'ordre max d'un element de Z/2Z est 2, alors pouvez vous m'expliquer pourquoi ces deux groupes sont non isomorphes?

#7 04-05-2017 22:23:51

Raphael.cr
Invité

Re : groupe

Excusez moi je veux dire $(Z/2Z)^3$ et pas Z/2Z

#8 05-05-2017 08:03:50

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : groupe

Re-

  Parce qu'un isomorphisme conserve l'ordre des éléments d'un groupe.

F.

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#9 05-05-2017 12:56:49

raphael.cr
Invité

Re : groupe

Alors, Soit $f \in Hom(Z/4Z \times Z/2Z;(Z/2Z)^3) \ et \ x \in (Z/2Z)^3,(\bar{1};\bar{1})$ est d'ordre 4 dans $Z/4Z \times Z/2Z$,et $o(x) \in \left\{1;2 \right\},$ d'où $o(x)<4,$ et alors f n'est pas injectif, d'où il n'y a aucun isomorphisme entre ces deux groupes.

La preuve se fait-elle de cette manière?

#10 05-05-2017 13:29:57

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : groupe

Le cheminement est : supposons $f$ isomorphisme. $(1,1) \in Z/4Z \times Z/2Z$ est d'ordre 4, donc $f((1,1)) \in (Z/2Z)^3$ est d'ordre 4 (conservation de l'ordre par un isomorphisme) , contradiction car l'ordre maximal des éléments de $(Z/2Z)^3$ est 2.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#11 05-05-2017 15:55:39

raphael.cr
Membre
Inscription : 05-05-2017
Messages : 3

Re : groupe

merci beaucoup pour votre aide!!

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