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#1 04-05-2017 19:12:09
- raphael.cr
- Invité
groupe
salut, j'ai besoin de votre aide pour resoudre ces deux questions :
1) Soit G le sous groupe de $SL_2(R)$ (groupe speciale lineaire forme des matrices triangulaires superieurs.
Trouver tous les sous-groupes de G d'ordre fini.
2) Prouver que $(Z/2Z)^3 \ et \ Z/4Z \times Z/2Z$ sont non isomorphes.
Pour la premiere question j'ai raisonner de la facon suivante :
Soit H un sous-groupe de G d'ordre fini n et soit $X \in G.$ alors X s'ecrit sous la forme :
$X=\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}.$
On connait que $X^n=I_2.$ d'ou il faut chercher $X^n$.
on peut prouver par reccurrence que pour tout $n \in N^*-{\left\{1 \right\}},$
$X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}$
Pour n=2;
$X^2=\begin{pmatrix}q^2 &kq+\frac{k}{q} \\ 0 & \frac{1}{q^2} \end{pmatrix},$ ce qui est vrai.
On suppose que $X^n=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix},$
prouvons que $X^{n+1}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
$X^{n+1}=X^nX=\begin{pmatrix}q^n &k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n+1}} \\ 0 & \frac{1}{q^n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}q &k \\ 0 & \frac{1}{q} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &kq^n+k \sum_{w=0}^{n-1}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}q^{n+1} &k \sum_{w=0}^{n}{q^{2w-n}} \\ 0 & \frac{1}{q^{n+1}} \end{pmatrix}$
on distingue deux cas si n est impair, alors $X^n=I_2$ donne q=1 et k=0. Donc $X=I_2$.
si n est pair alors $X \in \left\{I_2,-I_2 \right\}$
D'ou les sous groupes d'ordre fini de G sont $\left\{I_2,-I_2 \right\}$ et $\left\{-I_2 \right\}$.
ce raisonnement est-il correcte ? et pour la question 2 comment prouver que ces deux groupes sont non isomorphes?
merci d'avance.
#3 04-05-2017 20:36:05
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : groupe
Bonsoir,
Moi, je n'ai pas compris le début du 1). D'où vient ce "alors $X=...$" pour un $X \in H$ (j'ai corrigé, tu as écris : soit $X\in G$).
D'autre part, tu écris que les matrices de $SL_2(\mathbb{R})$ sont triangulaires, pour moi, ce sont des matrices de déterminant $1$ non ?
Pour le 2), pareil que Roro. Les isomorphismes conservent l'ordre des éléments. Il faut montrer que ce n'est pas possible.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#4 04-05-2017 20:42:51
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : groupe
Bonsoir,
Pour Yassine : $G$ est le sous-groupe de $SL_2(\mathbb R)$ des matrices triangulaires supérieures, d'où la forme de la matrice $X$.
Je crois que le 1. est correct, si ce n'est qu'à la fin tu as écrit $\{-I_2\}$ au lieu de $\{I_2\}$.
F.
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#6 04-05-2017 22:08:31
- Raphael.cr
- Invité
Re : groupe
Bonsoir, G est un sous groupe de $SL_2(R)$ et G est formé de des matrices triangulaires sup.
Et à la fin, j'ai fait une faute de dictée. Je veux ecrire {$I_2$}.
Mais ce qui m'interesse si la methode est correcte
Et pour la deuxieme question il existe un element de$Z/4Z \times Z/2Z$ est 4 et l'ordre max d'un element de Z/2Z est 2, alors pouvez vous m'expliquer pourquoi ces deux groupes sont non isomorphes?
#7 04-05-2017 22:23:51
- Raphael.cr
- Invité
Re : groupe
Excusez moi je veux dire $(Z/2Z)^3$ et pas Z/2Z
#9 05-05-2017 12:56:49
- raphael.cr
- Invité
Re : groupe
Alors, Soit $f \in Hom(Z/4Z \times Z/2Z;(Z/2Z)^3) \ et \ x \in (Z/2Z)^3,(\bar{1};\bar{1})$ est d'ordre 4 dans $Z/4Z \times Z/2Z$,et $o(x) \in \left\{1;2 \right\},$ d'où $o(x)<4,$ et alors f n'est pas injectif, d'où il n'y a aucun isomorphisme entre ces deux groupes.
La preuve se fait-elle de cette manière?
#10 05-05-2017 13:29:57
- Yassine
- Membre
- Inscription : 09-04-2013
- Messages : 1 090
Re : groupe
Le cheminement est : supposons $f$ isomorphisme. $(1,1) \in Z/4Z \times Z/2Z$ est d'ordre 4, donc $f((1,1)) \in (Z/2Z)^3$ est d'ordre 4 (conservation de l'ordre par un isomorphisme) , contradiction car l'ordre maximal des éléments de $(Z/2Z)^3$ est 2.
L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel
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#11 05-05-2017 15:55:39
- raphael.cr
- Membre
- Inscription : 05-05-2017
- Messages : 3
Re : groupe
merci beaucoup pour votre aide!!
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