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#1 13-04-2017 13:43:22

Chnoufi
Membre
Inscription : 13-04-2017
Messages : 1

Problème de maths

Bonjour,

Je dois répondre à une énigme à laquelle je n'arrive pas du tout à répondre. Pourriez vous m'aider?
Lors d'une soirée il y a 48 hommes et des femmes. Chaque homme est ami avec 5 femmes et chaque femme est ami avec 8 hommes.
Combien y a t-il de femme dans cette soirée ? 
Merci

Dernière modification par yoshi (13-04-2017 14:10:28)

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#2 14-04-2017 09:09:48

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 943

Re : Problème de maths

Salut,

La théorie des graphes peut te donner un bon coup de main.
On peut modéliser la situation par un graphe où chaque sommet est un convive (homme ou femme) et deux sommets sont reliés par une arête si les convives correspondants sont amis.

Or la somme des degrés de tous les sommets est égale au double du nombres d’arêtes.
Donc en notant $n$, le nombre de femmes, on obtient
deg(sommets homme)+deg(sommets femme)=2 fois nb d'arêtes
${}\qquad 48\times 5\qquad +\qquad n\times 8\qquad=2\times 48\times 5$

Et cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{N}$.
Donc soit j'ai fait une erreur (ce qui est tout a fait possible, je ne maîtrise pas du tout la théorie de graphe), le problème vient de l'énoncé.

Dernière modification par tibo (14-04-2017 09:10:16)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 14-04-2017 09:45:40

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 4 701

Re : Problème de maths

Salut Tibo,
 
  Si, cette équation admet une solution, c'est $n=30$!
Ta présentation avec la théorie des graphes est très jolie. Si notre ami ne la connait pas, on peut la résumer en disant :
* les liens d'amitié sont réciproques : si un homme est ami avec une femme, cette femme est ami avec l'homme.
* les hommes de la soirée ont $48*5$ liens d'amitié avec les femmes
* si $n$ est le nombre de femmes de la soirée, elles ont $n*8$ liens d'amitié avec les hommes.

Ainsi, on doit avoir $48*5=n*8$, ce qui donne bien $n=30$.

F.

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#4 14-04-2017 10:08:34

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 943

Re : Problème de maths

Ha bah oui... qu'est ce qui m'est arrivé là...

Donc oui il y a une solution.


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#5 14-04-2017 10:11:31

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 141

Re : Problème de maths

Salut,

je m'aperçois que j'avais vraiment mal lu l'énoncé : faut pas vieillir, danger  ;-)

La solution de Fred est lumineuse, bravo les gars !


Memento Mori ! ...

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