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Yassine.roc1ma

Invité

Famille de matrices cycliques

Bonjour, en traitant un problème sur les endomorphismes cycliques je m'arrête sur une question où il faut déterminer la matrice A d'un endomorphisme cyclique u puis la première colonne de (A^^k) pour k compris entre 0 et (n-1) et en déduire que (In,A,A^^2, ... , A^^(n-1) ) est libre.
Ce qui me perturbe c'est que dans le corrigé, ils ont écrit " la première colonne de la matrice A^^k est nulle sauf le coefficient de la (k+1) ème ligne qui vaut 1, donc (In, ... , A^^(n-1) ) est libre " ce dont je n'arrive pas à trouver la justification.
Merci d'avance pour votre aide !

Fred

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Re : Famille de matrices cycliques

Bonjour,

  Quand tu parles de "la" matrice $A$ d'un endomorphisme cyclique $u$, il faut savoir de quelle base tu parles.
J'imagine qu'on te demande de l'écrire dans la base $B=(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$. Dans ce cas, la première colonne de $A^k$ est l'expression du vecteur $u^k(x)$ dans cette base. Et on a bien
$$u^k(x)=0x+\dots+0u^{k-1}(x)+1u^k(x)+0u^{k+1}(x)+\dots+0u^{n-1}(x).$$

F.