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#1 04-04-2017 11:49:44

sbl_bak
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Espace de Banach

Bonjour à tous
On considère $B(X,E)$ l’ensemble des fonctions $f$ bornées de $X$ dans $E$ muni de la norme uniforme.
$C_b(X,E)$ comme étant l’ensemble des fonctions $f$ de $B(X,E)$ qui sont continues. Alors $(C_b(X,E),||.||_{B(X,E)})$ est un espace de Banach.

1 / je commence par définir un candidat $f$ pour la limite $f_n$
Soit $f_n$, $C_b(X,E)$
$\forall \epsilon$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ / $||f_n-f_m||_{C_b(X,E)}\leq \epsilon$
Première question : est ce que je peux écrire
$\forall \epsilon$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ $sup_{x\in X}||f_n(x)-f_m(x)||_{E}\leq \epsilon$
si oui on montre que $f_n(x)$ est de Cauchy. Or E est complet ==> $f_n(x)$ CV vers un point qu'on définit comme $f_(x)$
donc on a $f(x) = lim f_n(x)$

après ça je suis coincé !

Merci d'avance de votre aide

Sylvain

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#2 04-04-2017 11:57:13

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

... réponse à ma question :  est ce que je peux écrire ? oui bien sur car $C_b$ est l'ensemble des fonctions continues dans $B$
Une nouvelle question : est ce que l'on a $C_b \subset B$ ?

De plus, je recherche à montrer que le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues.
Pourriez vous svp m'aider également sur cette démonstration?

Dernière modification par sbl_bak (04-04-2017 12:00:18)

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#3 04-04-2017 13:44:43

Fred
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Re : Espace de Banach

sbl_bak a écrit :

... réponse à ma question :  est ce que je peux écrire ? oui bien sur car $C_b$ est l'ensemble des fonctions continues dans $B$
Une nouvelle question : est ce que l'on a $C_b \subset B$ ?

J'ai peur de ne pas comprendre ta question. Mais si je lis ton énoncé, on dit que les éléments de $C_b$ sont des éléments de $B$ qui vérifient des propriétés supplémentaires!

De plus, je recherche à montrer que le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues.
Pourriez vous svp m'aider également sur cette démonstration?

Une démonstration

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#4 04-04-2017 14:40:32

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

merci pour la demonstration.

Le sujet est de montrer que $(C_b(X,E),||.||_{B(X,E)})$ est un espace de Banach et je coince après avoir défini un candidat pour la limite.

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#5 04-04-2017 20:14:58

Fred
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Re : Espace de Banach

En fait, tu as presque fini. Fixe $\varepsilon>0$. Tu sais qu'il existe $N\in\mathbb N$
tel que, pour $n,m\geq N$, et pour $x\in E$, on a $\|f_n(x)-f_m(x)\|\leq\varepsilon.$
On fait tendre $m$ vers $+\infty$ et on trouve $\|f_n(x)-f(x)\|\leq \varepsilon$ exactement ce que tu souhaites.

F.

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#6 04-04-2017 20:33:12

Yassine
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Re : Espace de Banach

Sauf erreur, il faudra tout de même montrer que la fonction candidate est bornée.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#7 04-04-2017 21:37:50

Fred
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Re : Espace de Banach

Tu as raison, il faut démontrer qu'elle est continue et bornée. Mais ce sont deux propriétés stables par la convergence uniforme...

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#8 05-04-2017 11:31:53

Yassine
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Re : Espace de Banach

Oui, je suis d'accord. Je souhaitais rappeler à sbl_bak qu'il avait également ce point à montrer.
Il faut également établir la convergence uniforme (qui est aussi assez immédiate)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#9 05-04-2017 12:53:57

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

Bonjour,

Merci pour vos commentaires. En rassemblant les différents commentaires j'arrive la stratégie de la preuve :
1 / définir un candidat $f$ pour la limite $f_n$
2 / montrer que  $f_n \rightarrow f$
3 / montrer que $f \in (C_b(X,E),||.||_{B(X,E)})$

---------------- Je propose donc de suivre cette démarche de la preuve
1 / je commence par définir un candidat f pour la limite fn
Soit $fn$, $C_b(X,E)$
$\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ / $||f_n−f_m||_{C_b(X,E)}\leq \epsilon$
$\Leftrightarrow \forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ $sup_{x\in X}||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow \forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n,m \geq N$ $\forall x \in X ||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$

Donc $\forall x$ $f_n(x)$ est de Cauchy. Or E est complet $\Rightarrow f_n(x)$ CV vers un point qu'on définit comme $f(x)$
donc on a $f(x)=lim_{n\to \infty} f_n(x)$

2 /

$\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $\forall m \geq N$ $||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$
fixons $\epsilon$ ,$n$

$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $lim_{m\to \infty}||f_n(x)−f_m(x)||_E \leq \epsilon$  $(i)$
par continuite de la norme, on a :
$lim_{m\to \infty}||f_n(x)−f_m(x)||_E = ||f_n(x)−f(x)||_E$
d'ou
$(i)$ $\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $sup_{x\in X}||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $||f_n−f||_{B(X,E)}\leq \epsilon$

Donc $f_n$ dans $C_b(X,E)$ converge $f$ dans $B(X,E)$ ;

3 / D’après 2/ on a
$\forall \epsilon>0$, $\exists N$, $\forall n \geq N$ $\forall x \in X$    $||f_n(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
Fixons n = N
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E \leq \epsilon$ 
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$  $||f(x)||_E \leq \epsilon + ||-f_N(x)||_E$  (*)
$\Leftrightarrow$ $\forall \epsilon>0$  $sup_{x\in X}||f(x)||_E \leq \epsilon + sup_{x\in X}||f_N(x)||_E$
$\Leftrightarrow$ $|f||_{B(X,E)} \leq \epsilon + ||f_N||_{B(X,E)}$

Alors $f$ est bornée donc $f\in (C_b(X,E),||.||_{B(X,E)})$
cela montre également que $C_b$ est fermé dans $B(X,E)$ (**)

----------------
Voila ce que je propose pour la preuve de $C_b$ est un espace de Banach.
(*) est ce que l'utilisation de l'inégalité traingualire est bonne?
(**) est ce vrai ?

De plus, il ne me semble pas avoir utilisé "le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues."

(J'ai un autre exo du même acabit, dois-je comprendre que c'est la même chose?
On définit $C_u(X,E)$ comme étant l’ensemble des fonctions $f$ de $B(X,E)$ qui
sont uniformément continues. Démontrer que $(C_u(X,E), ||.||_{B(X,E)})$ est un espace de Banach.)

Merci d'avance pour vos commentaires.

Dernière modification par sbl_bak (05-04-2017 12:55:29)

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#10 05-04-2017 13:10:33

Yassine
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Re : Espace de Banach

Bonjour,
Il y a un passage pour montrer que $f$ est borné qui n'est pas correct :
Tu écris :
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E \leq \epsilon$ 

C'est comme si tu disais que si $A < \epsilon$ et $A < B$ alors $B < \epsilon$ !


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#11 05-04-2017 13:29:37

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

Bonjour Yassine,

$\forall \epsilon>0$ $\forall x \in X$ $||f_N(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$
or $\forall x \in X$ $||f_N(x)||−||f(x)||_E \leq ||f_N(x)−f(x)||_E$
d’où
$\forall \epsilon>0$ $\forall x \in X$ $||f_N(x)||−||f(x)||_E \leq \epsilon$.

Est ce correct?

Dernière modification par sbl_bak (05-04-2017 14:01:14)

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#12 05-04-2017 14:23:47

Yassine
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Re : Espace de Banach

Oui, c'est correct, mais ce n'est pas ce que tu cherches (ici, tu minores $\|f(x)\|$ alors que tu cherches un majorant).


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#13 05-04-2017 15:17:47

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

effectivement finalement on a : $ ||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||+||- f(x)||_E $

Sinon pour le reste de mes remarques :
(**) est ce vrai ?

De plus, il ne me semble pas avoir utilisé "le théorème de continuité des limites uniformes de suites de fonctions continues."

(J'ai un autre exo du même acabit, dois-je comprendre que c'est la même chose?
On définit $C_u(X,E)$ comme étant l’ensemble des fonctions $f$ de $B(X,E)$ qui sont uniformément continues. Démontrer que $(Cu(X,E),||.||B(X,E))$ est un espace de Banach.)

Merci d'avance

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#14 05-04-2017 15:58:39

Yassine
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Re : Espace de Banach

Je n'ai pas compris.
Tu n'as pas encore démontré que $f$ est bornée, ou du moins je ne vois pas la démonstration.

Pour le côté fermé de $C_b$, c'est en effet le cas (si tu termines ta démonstration bien sûr) puisque tu auras montré que la limite de toute suite convergente de $C_b$ est dans $C_b$.

Pour l'autre exo, ça ressemble en effet.


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#15 05-04-2017 16:08:15

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

Ben si je crois que j'ai montré que $f$ est borné au point 3/ de mon post#9 (malgré les erreurs sur l'inégalité /_\)

S'il manque la démonstration, je ne vois pas ce qu'il manque!

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#16 05-04-2017 16:29:48

Yassine
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Re : Espace de Banach

Il ne me semble pas que la démonstration donnée au 3/ soit correcte.

je suis d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq \epsilon$

je suis d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)−f(x)||_E \leq ||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E$

Je ne suis pas d'accord avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$    $||f_N(x)||_E + ||−f(x)||_E \leq \epsilon$
Tu vois bien que l'ordre de grandeur n'est pas bon. Tu peux imaginer que les $f_n$ sont constantes est valent $5$ par exemple, donc $||f_N(x)||_E + ||−f(x)|| = 10$, ce qui n'a rien à voir avec $\epsilon$.

Ensuite, tu enchaines avec
$\forall \epsilon>0$, $\forall x \in X$  $||f(x)||_E \leq \epsilon + ||-f_N(x)||_E$
Même en supposant l'inégalité précédente vraie, je ne vois pas comment ça entraine celle-ci !
(soit dit en passant, le signe '$-$' à l'intérieur de la norme ne sert pas à grand chose)


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#17 05-04-2017 17:44:57

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

pourrais tu stp m'aider à éclaircir des derniers points pour finir la démonstration car je ne vois pas quel est la bonne route pour finir?

merci d'avance.

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#18 05-04-2017 18:48:27

Yassine
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Re : Espace de Banach

Tu y étais presque au post #11
Tu sais que $\|a - b\| \ge \|a\| - \|b\|$ et aussi $\|a - b\| \ge \|b\| - \|a\|$ Si tu veux majorer $a$, il faut prendre la première inégalité et pour majorer $b$ la seconde.


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#19 05-04-2017 19:05:55

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

D'accord parfait! Je fini le point 3/
Dans votre poste 14 vous avez écrit que la limite de toute suite convergente de Cb est dans Cb. Je ne comprends pas bien pourquoi vous avez écrit cela car je l'ai montre au point 2/ ? D'ailleurs est ce que la conclusion du point 2/ est correct?

Dernière modification par sbl_bak (05-04-2017 19:29:14)

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#20 05-04-2017 20:12:58

Yassine
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Re : Espace de Banach

La séparation entre le point 2/ et 3/ n'a pas vraiment lieu d'être.
A un moment, dans le 2/, il faut juste remarquer qu'on obtient une majoration de $\|f\|$ et que donc $f \in B$. Ensuite, tu montre que $f$ est continue, donc $f \in C_b$.

Mon post #14 répondait à ta question sur la fermeture de $C_b$.


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#21 06-04-2017 17:00:58

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

Yassine a écrit :

La séparation entre le point 2/ et 3/ n'a pas vraiment lieu d'être.
A un moment, dans le 2/, il faut juste remarquer qu'on obtient une majoration de $\|f\|$ et que donc $f \in B$.

Le point 3/ montre que $||f||$ est bornée. Est ce correct?

.

Yassine a écrit :

Ensuite, tu montre que $f$ est continue, donc $f \in C_b$.

Je ne vois pas comment montrer $f$ est continue. Effectivement si $f$ est continu donc appartient à $C_b$.

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#22 06-04-2017 17:24:11

Yassine
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Re : Espace de Banach

Le point 3/ était erroné. Si tu le corriges, tu auras en effet montré que $f$ est bornée.

La continuité était démontrée dans le lien donné par Fred :
On se donne $\epsilon > 0$ quelconque.
On choisit $n$ fixé de manière à avoir $sup_{x\in X}||f_n(x)−f(x)||_E < \epsilon$
$f_n$ est continue en $x_0$, il existe donc $\eta$ tel que $\|x - x_0\| < \eta \implies \|f_n(x)-f_n(x_0)\| < \epsilon$
Ensuite, on écrit $f(x)-f(x_0) = (f(x)-f_n(x)) + (f_n(x)-f_n(x_0)) + (f_n(x_0)-f(x_0))$
Donc $\|f(x)-f(x_0)\| \le \|f(x)-f_n(x)\| + \|f_n(x)-f_n(x_0)\| + \|f_n(x_0)-f(x_0)\|$
Au total on aura $\|x - x_0\| < \eta \implies \|f(x)-f(x_0)\| < 3\epsilon$


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#23 06-04-2017 18:11:53

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

Je vous propose de refaire au propre la preuve.
(le 3/ était erroné suite aux coquilles des inégalités). J'ai effectivement vu le lien de Fred.

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#24 07-04-2017 10:39:22

sbl_bak
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Re : Espace de Banach

Bonjour
Je vais actualisés la preuve avec vos remarques.
J'ai un autre exo du type ci dessous
On définit Cu(X,E) comme étant l’ensemble des fonctions f de B(X,E) qui sont uniformément continues. Démontrer que (Cu(X,E),||.||B(X,E))
est un espace de Banach.
Pour le démontrer je vais donc utiliser la même démarche par contre comment on introduit l'uniforme continuité ?
Merci d'avance

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#25 07-04-2017 13:02:26

Yassine
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Re : Espace de Banach

C'est la même technique, comme $f_n$ sera uniformément continue, tu pourra trouver un $\eta$ tel que $\|x-y\|<\eta \implies \|f_n(x)-f_n(y)\| < \epsilon$. Les termes $\|f(x)-f_n(x)\|$ et $\|f(y)-f_n(y)\|$ sont contrôlés par la norme infinie pour tout $x,y$.


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