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#1 02-04-2017 12:35:23

soso1
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entrainement, inégalité

Hello,

je travaille sur différentes inégalités, celle ci est à mon sens vraiment facile .Le résultat est immédiat à moins que c'est piégé ?

la correction me dit résultat trivial! comprend pas.


[tex] x,y,z>0
[/tex]

[tex]  \frac { { x }^{ 2 } }{ { y }^{ 2 } } +\frac { { y }^{ 2 } }{ { z }^{ 2 } } +\frac { { z }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 } } \ge \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x }
[/tex]

on pose a,b,c

[tex] { a }^{ 2 }>a\quad .....
[/tex]

[tex]\\ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }>a+b+c
[/tex]


[tex]\\ a\left( a-1 \right) +b\left( ... \right) ..\ge 0[/tex]

égalité si x=y=z


merci, pour vos commentaire.

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#2 03-04-2017 09:48:24

Yassine
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Re : entrainement, inégalité

Bonjour,
Attention , $a^2 > a$ n'est pas toujours vraie. Contre-exemple quand $0 \le a < 1$


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#3 03-04-2017 13:10:30

soso1
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Re : entrainement, inégalité

Bonjour,

Rien de bien méchant pour cette inégalité,surprenante de facilité! Étonnant que sa soit proposé au entrainement type olympiades


merci.bonne jrnée

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#4 03-04-2017 13:41:20

Yassine
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Re : entrainement, inégalité

Attention soso1,
Pour l'instant, tu n'as rien démontré !
Tu pars d'un constat qui est faux : $\forall a > 0, a^2 > a$ !
La subtilité dans cet exercice vient du fait que même si $\dfrac{x}{y} < 1$ et $\dfrac{y}{z} < 1$, alors le troisième terme $\dfrac{z}{x} > 1$ et va pouvoir rattraper le déficit.

Dernière modification par Yassine (03-04-2017 13:41:43)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 04-04-2017 19:11:24

soso1
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Re : entrainement, inégalité

Bonsoir,

1)-En partant de vôtre écriture

[tex]\frac { x }{ y } <1\quad \quad \quad \frac { y }{ z } <1\quad \quad \frac { z }{ x } >1\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \quad \quad 0<x<y<z\
[/tex]


[tex]{ \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }<\frac { x }{ y } ,\quad \quad { \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }<\frac { y }{ z } ,\quad { \left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 }>\frac { z }{ x }[/tex]

Mais bon,que faire de ces inégalités? je n'arrive pas



2)j'ai décidé de construire un carré , pour montrer la positivité?

En prenant les inverses un peu  par obligation


[tex] \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }[/tex]





[tex] 2\left[ { { \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }+\left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 } \right] \ge 2\left[ \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }  \right][/tex]




[tex] \left[ { \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 2x }{ z } +{ \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 } \right] +\left[ { \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 2y }{ x } +{ \left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 } \right] +\left[ { \left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 2z }{ y } +{ \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 } \right] \quad \ge 0[/tex]

Conclusion.


[tex]{ \left( \frac { x }{ y } -\frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { y }{ z } -\frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { z }{ x } -\frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }\ge 0[/tex]



merci,

Dernière modification par soso1 (04-04-2017 19:12:02)

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#6 04-04-2017 19:30:46

Yassine
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Re : entrainement, inégalité

Je n'ai pas tout compris.
Il faudrait que tu réécrive au propre tout ça en justifiant clairement les différentes étapes


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#7 04-04-2017 21:07:49

soso1
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Re : entrainement, inégalité

Bonsoir, Yassine



je m'excuse pour ce manque de clarté.

En partant de vôtre constat, à un moment donné je coince,,,

j' ai eu alors l'idée de construire des identités remarquable ,puisqu'elles sont tjrs positives.

voici ce que ça donne à l'endroit :)




[tex]{ \left( \frac { x }{ y } -\frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { y }{ z } -\frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { z }{ x } -\frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }\ge 0[/tex]



[tex]\Leftrightarrow[/tex]


[tex] \left[ { \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 2x }{ z } +{ \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 } \right] +\left[ { \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 2y }{ x } +{ \left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 } \right] +\left[ { \left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 }-\frac { 2z }{ y } +{ \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 } \right] \quad \ge 0[/tex]


[tex]\Leftrightarrow[/tex]



[tex] 2\left[ { { \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }+\left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 } \right] \ge 2\left[ \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }  \right][/tex]




[tex]\Leftrightarrow[/tex]


[tex]\left[ { { \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }+\left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 } \right] \ge \left[ \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }  \right][/tex]



comme,


[tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }[/tex]


ainsi

[tex]{ \left( \frac { x }{ y }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { y }{ z }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( \frac { z }{ x }  \right)  }^{ 2 }\ge\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x }[/tex]


merci, bonne nuit

Dernière modification par soso1 (05-04-2017 08:12:16)

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#8 05-04-2017 07:42:55

Yassine
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Re : entrainement, inégalité

Bonjour,
Bravo pour ta première identité remarquable, qui est remarquable !

Par contre, l'inégalité $\displaystyle \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }$ ne peut être correcte en toute généralité (pour tout $x,y,z > 0$). En effet, comme $x,y,z$ ont un rôle symétrique, tu peux appliquer l'inégalité en renommant les variables et arriver à une égalité !

Si tu te restreints au cas $x \ge y \ge z > 0$, il me semble possible de la démontrer, mais ça nécessite une petite justification.


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#9 05-04-2017 08:26:20

soso1
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Re : entrainement, inégalité

merci ,

je m'en occuperai ce soir après les cours .


bonne jrnéé

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#10 05-04-2017 14:49:52

soso1
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Re : entrainement, inégalité

Bonjour, voici la dernière preuve

cas:
[tex] z\ge y\ge x\ge 0[/tex]


[tex]\frac { y }{ x } \ge 1\quad \Rightarrow \frac { x }{ y } \le 1\quad \Rightarrow \frac { x }{ y } \le \frac { y }{ x }[/tex] 


[tex] \frac { y }{ z } \le 1\quad \Rightarrow \frac { z }{ y } \ge 1\quad \Rightarrow \quad \frac { y }{ z } \le \frac { z }{ y }[/tex] 



[tex] \frac { z }{ x } \le 1\quad \Rightarrow \frac { x }{ z } \ge 1\quad \Rightarrow \quad \frac { z }{ x } \le \frac { x }{ z }[/tex]


-finalement en sommant

[tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }[/tex]



merci encore, et bonne fin de jrnée

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#11 05-04-2017 15:35:09

Yassine
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Re : entrainement, inégalité

Attention, il faut supposer $z \ge y \ge x > 0$ (il sont strictement positifs).
Ta dernière inégalité est incorrecte, comme $z \ge x$ alors $\dfrac { z }{ x } \ge 1$ et non $\dfrac { z }{ x } \le 1$ comme tu l'as écrit.


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#12 07-04-2017 09:09:42

soso1
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Re : entrainement, inégalité

Bonjour,Yassine

Je pensais que cette dernière inégalité serait beaucoup plus simple à prouver, la précipitation m'a fait défaut.

Je vous propose une démonstration, sans conviction.

cas:
[tex]z\ge y\ge x>0[/tex]



[tex]\quad ,\quad \frac { x }{ z } \le \frac { y }{ z } \le \frac { z }{ y } \quad \Rightarrow \quad \quad \frac { z }{ x } \ge \frac { z }{ y } \ge \frac { y }{ z }[/tex]


aussi,

[tex]\quad \quad \frac { z }{ x } \ge \frac { y }{ x } \ge \frac { x }{ y }[/tex]



il vient,


[tex]\quad \Rightarrow \quad \quad \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } \le \frac { 2z }{ x }[/tex]


[tex]\Leftrightarrow[/tex]


[tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { 3z }{ x } \quad \quad \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z } \le \frac { 2z }{ x } +\frac { x }{ z }[/tex]


[tex]\Leftrightarrow[/tex]


[tex]\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) \le \frac { z }{ x } \quad \quad \Rightarrow \frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) \le 3\left( \frac { z }{ x }  \right) \quad \quad \Rightarrow \frac { 2 }{ \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  } \ge \frac { x }{ z }[/tex]


[tex]\Leftrightarrow[/tex]


[tex]\frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) \le \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) +\frac { 2 }{ \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  }
[/tex]


*inégalités pouvant convenir ( c'est d'ailleurs ma première intuition)
"
[tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x }  \right) +\frac { 3 }{ \left( \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x }  \right)  }[/tex] "     [tex]\Leftrightarrow[/tex]  [tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }[/tex]


je reste néanmoins, pas satisfaite


Bon week-end

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#13 07-04-2017 12:23:12

Yassine
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Re : entrainement, inégalité

Bonjour,
Je ne vois d'où vient la dernière inégalité (juste avant le *) : $\displaystyle \frac { 3 }{ 2 } \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) \le \left( \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  \right) +\frac { 2 }{ \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }  }$.

Si j'écris $\displaystyle a = \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y }$, ça revient à dire $\displaystyle \frac { 3 }{ 2 } a \le a + \frac { 2 }{ a }$, soit encore $a \le 2$. Comme par ailleurs $\displaystyle \frac { y }{ x } \ge 1$ et $\displaystyle \frac { z }{ y } \ge 1$, alors $\displaystyle a = \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } \ge 2$, et donc $a=2$ !

Je n'ai pas non plus compris le lien avec la fin.

Une petite indication : Il faut remarquer que l'inégalité ne fait intervenir que des rapports, donc, si elle est vraie pour $z \ge y \ge x > 0$, alors elle le sera pour $az, ay$ et $ax$ ou $a$ est un réel strictement positif quelconque.

On peut donc se limiter aux cas où $x=1$. Ensuite, ça revient à étudier le signe d'un polynôme du second degré.

Bon W.E.

Dernière modification par Yassine (07-04-2017 12:23:30)


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#14 07-04-2017 20:22:53

soso1
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Re : entrainement, inégalité

Bonsoir,

j’éprouve certaine difficultés au niveau de la rédaction,parfois des étapes sont oubliées ou mal détaillées. En me relisant c'est flagrant.

cas:
[tex]z\ge y\ge x>0[/tex]        mon travail consiste à prouver ceci  [tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }[/tex]



[tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { 3z }{ x } \quad \quad \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z } \le \frac { 2z }{ x } +\frac { x }{ z }[/tex]#

J'ai  établis cette inégalité ci dessus dans le seul but de construire   [tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { 2 }{ 3 } \left( \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x }  \right) +\frac { 3 }{ \left( \frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x }  \right)  }[/tex]   qui agira un peu comme un équivalent à   [tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z }[/tex].  Mon idée était de recourir à quelque chose de plus abordable...


Toujours dans le même principe, une deuxième inégalité a été déduite de #, ça ma sauté au yeux malgré qu'elle soit inutile.  C'est devenu illisible par la suite,,,



Voila, merci

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#15 08-04-2017 09:25:07

Yassine
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Re : entrainement, inégalité

Là, je suis un peu perdu !
Est-ce que tu penses que tu as une démonstration ?
Si oui, je veux bien que tu la rédiges tranquillement et clairement, en mettant à chaque fois le point de départ et le point d'arrivé.


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#16 09-04-2017 10:07:38

soso1
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Re : entrainement, inégalité

Bonjour, Yassine

J'ai eu trop d'hésitations après [tex]\frac { x }{ y } +\frac { y }{ z } +\frac { z }{ x } \le \frac { 3z }{ x } \quad et\quad \frac { y }{ x } +\frac { z }{ y } +\frac { x }{ z } \le \frac { 2z }{ x } +\frac { x }{ z }[/tex]
je vais reprendre vôtre idée sur l'étude du signe du polynôme de degré 2,c'est mieux.Je ne veux pas vous embrouiller d'avantage avec une  autre démonstration et surtout éviter de tirer des plans sur la comête


merci,bon dimanche

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