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#1 02-04-2017 12:03:56

emna123
Invité

Calcul pseudo-différentiel

Bonjour Fred pouvez vous s'il vous plait m'aider à répondre à cette question :

Pour un symbole $b(X)\in S'(\mathbb{R}^{2d})$  (où $X=(q,\xi)$) on a la relation suivante entre la quantification Anti-Wick et celle du Weyl:

\begin{align*}
b^{Anti-Wick}(q,D_q)=(b_*G_0)^{Weyl}
\end{align*}
avec $G_0(X)=\frac{e^{-|X|^2}}{\pi^d}$
En utilisant le développement de Taylor avec reste intégral pour la fonction exponentiel, on peut écrire:
\begin{align*}
G_0*b(X)&=\Big[e^{\frac{-(h D_X)^2}{4h}}b\Big](X)\\&=\Big[\sum_{k=0}^n{\frac{h^k(-D_X^2)^k}{4^kk!}}b\Big](X)+\frac{1}{n!}\Big[\int_0^1(1-t)^n\;e^{\frac{-thD_X^2}{4}}\;\frac{h^n(-D_X^2)}{4^n}^{n+1}\;\;b\;dt\Big](X)\\&\underset{\text{si b est un polynôme}}{=}\Big[\sum_{k=0}^n{\frac{h^k(-D_X^2)^k}{4^kk!}}b\Big](X)
\end{align*}
Je veux appliquer cette relation avec $b(q,\xi)=(1+|\xi|^2)^{2/3}$ pour montrer que:
\begin{align*}
b^{Anti-Wick}(q,D_q)=b^{Weyl}(q,D_q)+R_1^{Weyl}(q,D_q)
\end{align*}

avec $R_1\in \mathcal{L}(L^2(\mathbb{R}^{2d}$

Merci bien en avance.

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