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#1 30-03-2017 22:42:31

fon jazar
Invité

transformation du plan

Bjr on ɗonne les A B C alignes tels que  AC=4AB
ɗemontrer quƙ'il existe une et une seule homothetie qui transforme Aen B et B en C.
Determiner la.

#2 06-04-2017 13:25:49

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : transformation du plan

Bonjour,

  Le manque de courtoisie dans la rédaction de la question n'imposait pas de réponse rapide. Je le fais quand même pour garder une trace. D'abord, je vais supposer que $\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AB}$ (il n'était pas clair qu'il s'agisse de vecteurs).
Supposons d'abord qu'une telle homothétie existe, notons $O$ son centre et $k$ son rapport. Alors on a
$\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$ et $\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{OB}$.
Utilisant la relation de Chasles, ceci s'écrit encore
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{OB}$$
soit
$$\overrightarrow{OA}-k\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{AC}=-4\overrightarrow{AB}.$$
Mais on a aussi
$$-k\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec 0.$$
Multiplions cette dernière équation par $k$ et ajoutons la à la précédente. Il vient :
$$(1-k^2)\overrightarrow{OA}=-4\overrightarrow{AB}.$$
Mais de l'équation $\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{OA}$, on peut aussi tirer
$$(1-k)\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{AB}.$$
Ceci entraîne que $4(1-k)=(1-k^2)=(1-k)(1+k).$
Puisque $k\neq 1$ (il faut quand même supposer que $A\neq B$), on a $1+k=4$ soit $k=3$. Et on a $\overrightarrow{OA}=\frac 12\overrightarrow{AB}$.
Réciproquement, en définissant $O$ de la façon suivante, on vérifie que l'homothétie de centre $O$ et de rapport 3 transforme $A$ eb $B$ et $B$ en $C$.

F.

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