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Romanitou

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Exercice sur les séries

Bonjour à tous.
Je suis étudiant en licence 2 de mathématiques et je souhaiterais demander votre aide sur un exercice sur les séries dont voici l'énoncé.
Question 1 : Soit (an) appartenant à R^N une suite telle que somme (n^2 (an)^2) < + l'infini pour n>= 1 Montrer que la série de fonctions somme ((an) * cos (nx))>=1 pour n définit une fonction continue sur R.
Question 2 : Montrer que si on a de plus somme (n^3*(an)^2)<+l'infini pour n>=1 alors somme ((an)*cos(nx)) est de classe C1 pour n>=1
Question 3 : Donner un exemple de suite an telle que somme ((an)cos(nx)) pour n>=1 définisse une fonction de classe C1 mais pas de classe C2.

Alors pour la première question, je l'ai réussie en utilisant que montrer qu'elle est continue revient a montrer qu'elle est uniformément convergente. Et pour montrer cela on peux montrer qu'elle est normalement convergente. Pour ce faire, on utilise le critère de cauchy sur la somme (an) = somme((an)*n*1/n) <= (somme (an)^2*n^2)^(1/2)*(somme (1/n^2))^(1/2) qui converge car l'une des sommes est celle de l'énoncé et l'autre est une somme de Riemann.

Mais, en arrivant a la deuxième question, je me heurte a un problème. Car je n'arrive pas a montrer de la même manière que somme (-n*an*sin(nx)) est normalement convergente. J'ai essayé d'utiliser le critère de Cauchy mais le problème c'est qu'on obtient un n^4 si on prend n*an= n*an *n *1/n. Je me suis aussi demandé si on pouvait pas se ramener a par exemple (somme(n^beta * an^2))^(1/2)*(somme(1/n^alpha))^(1/2) avec beta<= 3 et alpha >1 mais a la fin on se heurte a du 3>= beta >= alpha +2>3.
La dernière technique que j'ai essayé serait de faire un produit de Cauchy a 3 termes, les deux sommes données dans l'énoncé + une somme de Riemann convergente mais la j'obtiens somme (an)^(3/2) * n.

Donc voila j'aurais aimé savoir si vous aviez des pistes pour cet exercice que cela fait 5 jours que je m'arrache les cheveux sur cette question.
Merci d'avance pour votre réponse.

Fred

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Re : Exercice sur les séries

Bonsoir,

  Pas facile à lire ton message! Il va falloir te mettre au LateX!

Le problème, c'est que la condition $\sum_n n^3 a_n^2$ converge n'implique pas $\sum_n na_n$ converge. Il suffit de prendre
$a_n=\frac{1}{n\ln n}$. Donc on ne peut pas faire uniquement avec l'inégalité de Cauchy-Schwartz...

F.

Romanitou

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Re : Exercice sur les séries

Bonjour,
Tout d'abord merci de ta réponse. La condition somme n^3 * an^2 converge n'implique pas que ma somme converge je suis bien d'accord avec toi. Par contre, ce que l'on sait c'est qu'à un moment il faut l'utilise en ayant majoré somme n*an. Car si l'on majore somme n* an par notre somme qui est convergente, alors somme n* an converge aussi ce qui nous donne les résultats. En cherchant un peu et en demandant de l'aide je crois avoir vu que l'on pouvait arriver a cette majoration. DOnc je pense que l'on peux utiliser une majoration plus Cauchy pour arriver a nos fins.
(Pour ce qui est du code Latex j'essaierai plus tard d'apprendre a le manipuler)