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#1 23-03-2017 21:38:15

Bernard de Go Mars
Invité

Mathématiques des bas Reynolds

Bonjour à tous !

Je travaille depuis quelques mois sur la Mécanique des Fluides des bas nombres de Reynolds.
Comme certains d'entre vous le savent peut-être, les écoulements autours de corps très petits et se déplaçant très lentement dans des fluides visqueux peuvent être décrits par des lois mathématiques.
Ce genre d'écoulements s'appellent "écoulements rampants" et sont caractérisés par un nombre de Reynolds très inférieur à 1. On dit aussi que l'on est "en régime de Stokes". Dans ce régime, les écoulements ne sont le siège d'aucun décollement et d'aucunes turbulences et c'est pourquoi ils sont justiciables de lois mathématiques (alors que les écoulement à plus hauts Reynolds ne le sont pas).

Certains mathématiciens s'aventurent donc à déterminer la Traînée de corps dans ce régime de Stokes (Creeping flow, in english).
Je ne suis pas mathématicien, mais j'essaye de compter les points et de mettre en panorama leurs magnifiques calculs.

Un mathématicien australien, E. O. Tuck, a proposé une méthode (qu'il nomme inverse) permettant de dessiner, en faisant varier un certains nombre de paramètres, des corps de révolution dont la Traînée est connue.

Cette méthode fonctionne avantageusement avec deux paramètres (en considérant les autres paramètres comme nuls) : J'ai mis "en panorama" les coefficients adimensionnels de Traînée linéaire d'un certain nombre de corps ainsi déterminés, corps que j'ai appelés "corps de Tuck" : les panoramas en question montrent bien que la méthode de Tuck fonctionne bien (ce fait étant prouvé par ailleurs par application de la méthode aux ellipsoïdes de révolution, dont la Traînée a été calculé il y a déjà longtemps).

Malheureusement, lorsque j'augmente le nombre de paramètre à trois, les résultats sont invraisemblables.

Pour information, la méthode de Tuck utilise des polynômes de Legendre, ainsi que beaucoup d'autres choses qui me dépassent.

L'un d'entre vous (ou tout le monde !) peut-il jeter un œil aux quatre feuilles de la publication de Tuck :

TOWARD THE CALCULATION AND MINIMIZATION OF STOKES DRAG ON BODIES OF ARBITRARY SHAPE, by E. O. Tuck, Third Australian Conference on hydraulics and Fluid Mechanics, Sidney, november, 1968 :

http://people.eng.unimelb.edu.au/imarus … 3/Tuck.pdf

Je reste à votre disposition pour tout autre renseignement mais je ne veux pas vous surcharger l'esprit avec mon texte qui exploite (entre autres) cette publication car il pèse 200 pages...

En vous remerciant pour l'attention que vous avez porté à ce sujet qui est à la confluence des Mathématiques et de la Physique, ce qui apparaîtra à certains (je l'espère) comme un merveilleux terrain de jeux.


Amicalement,
Bernard de Go mars

#2 24-03-2017 17:36:51

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 563

Re : Mathématiques des bas Reynolds

Bonsoir Bernard de Go Mars,

Quel est exactement ta demande ?
En fait, j'ai l'impression que tu exposes un sujet très vaste qui demande sans doute de long travaux (tu en as sans doute déjà fait pas mal). Il y a sans doute aussi des mathématicien qui ont regardé ce problème depuis. Tu as probablement fait une biblio...
Si tu as des questions plus précises, je pense que certains pourront t'aider...

Roro.

P.S. Une question de curiosité : qu'entends-tupar "justiciable"  lorsque tu dis "Dans ce régime, les écoulements ne sont le siège d'aucun décollement et d'aucunes turbulences et c'est pourquoi ils sont justiciables de lois mathématiques (alors que les écoulement à plus hauts Reynolds ne le sont pas)."

Hors ligne

#3 25-03-2017 11:10:15

Bernard de Go Mars
Invité

Re : Mathématiques des bas Reynolds

Merci, cher Roro pour cette réponse.

Ma demande est très particulière et je ne sais si elle trouvera une réponse : il me semble que E. O. Tuck a fait une erreur dans son texte mais je ne suis pas en mesure de la démontrer (car je ne suis pas mathématicien).
Je peux seulement démontrer que les résultats auxquels conduit la généralisation de sa méthode ne sont pas vraisemblables, ceci à l'aide du système simple de comparaison dont je propose l'utilisation (un nouveau coefficient adimensionnel ou Cx linéaire réservé au régime de Stokes).
Autrement dit : la méthode de Tuck fonctionne parfaitement à partir des choix (restreints) de paramètres qu'il donne en exemple dans son texte (et ça c'est déjà formidable), mais elle ne fonctionne pas pour des choix plus étendus (sauf erreur, toujours très possible, de ma part).

Un petit œil à la publication de Tuck pourrait (je l'espère) donner à certain d'entre vous, le goût de ce genre de mathématiques appliquées de haut vol.

Je pense que Tuck a pu faire une erreur dans son texte (ou un mastic, ou une coquille) car, en refaisant ses calculs, j'en ai repéré deux autres (concernant heureusement des questions annexes). Évidement, je pense que le fond de la proposition de Tuck est très valide, c'est pourquoi je désire corriger l'erreur qui m'est apparu lorsque je suis passé à un choix moins restreint de paramètres...

Tu m'écris :
>>>>>>>>>>>>>>>> Il y a sans doute aussi des mathématiciens qui ont regardé ce problème depuis<<<<<<<<<<<

Je n'ai pas trouvé de citation du travail de Tuck sous la plume d'autres chercheurs : il faut dire que chacun cherche sur sa voie et que courent sur le Web quelques affirmations erronées de coefficients de Traînée en régime de Stokes : c'est là que justement il faut faire la police dans toutes ces informations !

Je ne puis en juger par moi-même, mais Tuck me semble être un grand mathématicien ; une médaille en son nom honore biannuellement des chercheurs des antipodes et il existe une page qui reprend ses travaux (il est mort en 2009) :

http://www.maths.adelaide.edu.au/yvonne.stokes/Tuck/

Le plus amusant c'est que la personne qui assure la maistrance de cette page est Yvonne "Stokes" (hasard des patronymes)...


>>>>>>>>>>>>>>>>>qu'entends-tu par "justiciable"  lorsque tu dis "Dans ce régime, les écoulements ne sont le siège d'aucun décollement et d'aucunes turbulences et c'est pourquoi ils sont justiciables de lois mathématiques (alors que les écoulement à plus hauts Reynolds ne le sont pas)."<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

Je veux dire que les calculs mathématiques donnent vraiment accès à des valeurs très précises des coefficients de Traînée.

Ceci étant, ce n'est pas simplement parce qu'il n'y a pas de décollement que ces calculs sont possibles, mais surtout parce que les impossibles équations de Navier-Stokes sont simplifiée par l'hypothèse qu'aux très faibles Reynolds les termes qui relatent les efforts d'inertie peuvent être négligés...

Amicalement,
Bernard

#4 27-03-2017 20:42:39

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 563

Re : Mathématiques des bas Reynolds

Bonsoir,

Je commence à comprendre ta demande. Si je caricature, tu souhaiterais qu'un "mathématicien" vérifie les calculs et méthodes de Truck dans l'article que tu as donné.

Malheureusement, si tu n'as pas de point précis à regarder dans cet article cela semble vraiment long de tout reprendre, surtout si on ne voit pas quelles seront les apports : d'après ce que tu dis, le fond de ce qu'il écrit est juste, donc pour un mathématicien, il n'y a pas grand intérêt à reprendre les calculs !

Par contre, si les conclusions pouvaient apporter un nouvel éclairage sur certains phénomènes, comprendre d'autres aspects... là cela pourrait être intéressant. Mais encore une fois, tu le dis toi-même, il n'y a pas beaucoup de travaux citant ce qu'a fait Truck.

Pour info, dans quel cadre t'intéresses-tu as cet article ?

Roro.

Dernière modification par Roro (28-03-2017 07:58:58)

Hors ligne

#5 28-03-2017 13:21:14

Bernard de Go Mars
Invité

Re : Mathématiques des bas Reynolds

Merci cher Roro pour ta réponse.

>>>>>>>>>>>>>>>tu souhaiterais qu'un "mathématicien" vérifie les calculs et méthodes de Truck<<<<<<<<<<<<<

Hum, par "Truck" mais Tuck (comme le frère Tuck de Robin des bois et non comme un camion)...

Oui c'est cela ! Je pense que Tuck a produit un raisonnement valable mais qu'il s'est trompé dans un détail (ou alors c'est moi qui me trompe : La peste soit des erreurs des autres ! Mais le choléra des nôtres !).

En un mot, Tuck propose une méthode qui donne, au hasard d'un certain nombre de paramètres, la Traînée en régime de Stokes des corps de révolution dessinés par ces paramètres.

En ne prenant que deux paramètres (comme dans les exemples donnés par Tuck)et en les faisant varier j'ai pu vérifier cette Traînée, comme Tuck, quand le couple de paramètres choisi dessine des ellipsoïdes.

Pour d'autres couples de paramètres, j'ai pu mettre en perspective les corps de révolution tracés et cette mise en perspective est très satisfaisante et donne tout à fait foi aux calculs de Tuck pour deux paramètres.

Ceci est déjà magnifique !

>>>>>>>>>>>>>>>>dans quel cadre t'intéresses-tu as cet article ?<<<<<<<<<<<

J'ai rédigé un texte (de plus de 200 pages) sur la question de la Traînée en régime de Stokes :

http://perso.numericable.fr/gomars2/aer … neaire.doc

Si l'on télécharge ce fichier Word, en cherchant "Tuck" (par CTRL+Tuck) on accède à ma mise en perspective des travaux de ce chercheur (parmi une longue mise en perspective de nombreux autres travaux et connaissances).

Cette "mise en perspective" ne peut que paraître rasoir si l'on pense que la Traînée des corps en régime de Stokes gagne à être méconnue.

Dans le cas contraire, cette plongée dans le "très petit" est passionnante, même si elle est exorbitante de nos usages communs en Mécanique des Fluides des hauts Reynolds (pour ceux qui ont de tels usages car ce n'est pas obligatoire)...

Cette plongée est également passionnante parce que ce régime de Stokes appelle beaucoup de "défrichage" (défrichage au moins pédagogique car mon texte n'est que pédagogique, disons que c'est un texte d'ingénieur).

Bref, quand on s'en tient, pour les calculs de Tuck, au cas restreint de deux paramètres, les coefficients de Traînée sont justes (pour ceux que l'on peut vérifier) ou vraisemblables (pour ceux que l'on peut "mettre en perspective".

L'équation de Tuck, qui dessine des corps de révolution entre les abscisses  -1 et 1 est :

Equation de Tuck à deux paramètres


Mais si l'on passe à trois paramètres (en faisant intervenir d'autres polynômes de Legendre, comme Tuck l'indique) (et c'est peut-être là que je me suis trompé !) alors les Traînées indiquées par la formule simplissime de Tuck ne sont plus vraisemblables (si l'on compare les corps dessinés par l'équation à des corps de formes proches).

Je pense donc que si un mathématicien reprenait les calculs de Tuck (qui me semblent très élégants) il arriverait assez facilement à trouver que la formule de la Traînée est différente pour un nombre de paramètre supérieurs à deux.

Ou alors, ce qui serait préférable, à prouver que cette formule est la bonne ! Et il faudrait alors vérifier que mon équation très légèrement généralisée (par insertion de polynômes de Legendre) est mauvaise...

Ce qui serait génial car cela donnerait accès au coefficient de Traînée de tas de nouveau corps intéressants !

N'est ce pas ce que tu signifies quand tu écris :

>>>>>>>>>>>>si les conclusions pouvaient apporter un nouvel éclairage sur certains phénomènes, comprendre d'autres aspects... là cela pourrait être intéressant<<<<<<<<<<<<<<


Amicalement,
Bernard de Go Mars

#6 28-03-2017 19:09:22

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 563

Re : Mathématiques des bas Reynolds

Bonsoir,

J'ai jeté un coup d'oeil à ton document, mais malheureusement je me suis vite arrêté !

Les objets que tu utilises ne sont jamais vraiment définis (qu'est ce que la trainée ?). Rien que le titre : MANIFESTE  POUR  L’UTILISATION D’UN  CX  LINÉAIRE EN  RÉGIME  DE  STOKES me pose beaucoup de question. Ce doit être un problème de culture (plutôt d'inculture de mon coté).

Les égalités ne sont pas clairement des "égalités" puisque tu affirmes toi-même, par exemple : "peu ou prou l’équation", "il dépend plus ou moins du nombre", "il est à peu près constant"... et je ne parle que des quelques premières pages.

Pour qu'un mathématicien puisse te répondre, il faudrait à mon avis que tu poses la question clairement : en définissant rigoureusement chaque objet de la question...
Peut être faut-il d'abord passer par un physicien des fluides...

Est ce que tu as lu attentivement le bouquin suivant :
Batchelor, George. An introduction to fluid dynamics. Cambridge University Press  (2000) ?

Je pense que tu devrais trouver pas mal de choses faites rigoureusement...

Roro.

Dernière modification par Roro (28-03-2017 19:10:40)

Hors ligne

#7 28-03-2017 21:22:49

Bernard de Go Mars
Invité

Re : Mathématiques des bas Reynolds

Merci, cher Roro pour le temps que tu a passé à essayer de survoler mon texte. Bel effort !

>>>>>>>>>>>>>>Les objets que tu utilises ne sont jamais vraiment définis (qu'est ce que la trainée ?)<<<<<<<<<<<<<<<<


Le texte (le "Manifeste") est forcément destiné à des gens qui savent ce que c'est que la Traînée. Ceci étant je peux ajouter une phrase pour mieux la définir car justement je propose (c'est le but du "manifeste") un nouveau coefficient de Traînée (et avec une définition précise) pour un usage exclusif aux bas Reynolds...


>>>>>>>>>>>>>>>>Les égalités ne sont pas clairement des "égalités" puisque tu affirmes toi-même, par exemple : "peu ou prou l’équation"<<<<<<<<<<<

Ben oui : c'est comme ça, la mécanique des fluides ! Dans les textes qui en traitent, on trouve souvent des circonlocutions du genre "C'est pourquoi il n'est pas illogique de penser que..."

Avec l'habitude, on trouve ça très poétique ! Et très vrai...

J'ai eu la curiosité de chercher les endroits où j'ai écrit :
"peu ou prou l’équation", "il dépend plus ou moins du nombre", "il est à peu près constant"

Et je peux te dire (mais tu n'ai pas obligé de me croire) que je trouve que c'est très bien dit (je veux dire "très honnêtement")...

La cause de l'utilisation de telles circonlocutions est que la mécanique des fluides est une science très floue : N'oublions pas que le nom des premiers mécaniciens des fluides, les spécialistes des foyers et des âtres, est devenu un terme très péjoratif : les "fumistes".

Et c'est bien parce que la mécanique des fluides est une science très floue qu'il faut utiliser de telles circonlocutions (ou périphrases dubitatives) : Les deux phrases "Il viendra !" ou "Il ne viendra pas !" peuvent être beaucoup plus fausse que "Il n'est pas impossible qu'il vienne !".

J'imagine qu'une science très floue comme la statistique a dû avoir du mal à s'imposer, pour les mêmes raisons...


Et les expressions qui te heurtent dans mon texte (si je te comprends bien) sont celles que j'ai choisies pour décrire au mieux la réalité :
Ce n'est pas de ma faute si le Coefficient de Traînée quadratique de beaucoup de corps est variable  avec le Reynolds !
Ne pas le dire serait travestir la réalité... Cela a toujours été une épine dans le pied des premiers mécaniciens des fluides (comme Eiffel et son contemporain Prandtl) : Ainsi que je dois l'écrire dans mon texte, Eiffel commençait souvent ses rapports (de tests en soufflerie) par : "Les divers coefficient se sont montrés à peu près constant aux vitesses des essais" (de mémoire) : il savait que les choses n'était pas carrées, mais il fonçait ! C'est même lui qui a mis en premier en lumière l'influence du Nombre de Reynolds qui préside justement, à un niveau supérieur, à ces phénomènes...

J'écrivais aussi à l'instant le nom de ce génie que fut Prandtl : c'est lui qui a inventé la notion de Couche Limite ! Si tu mettais en pratique cette notion (qui est tout à fait une notion d'ingénieur) tu verrais qu'elle est complètement floue...

Et pourtant ça marche et les Airbus 380 volent magnifiquement bien !


Quand je décris La Mécanique des Fluides comme une science, d'ailleurs, j'ai peut-être tort : c'est plus une pratique d'ingénieur ! Et en tout cas ce n'est pas une science dure, comme les mathématiques : le but des ingénieur est de faire !

Quant à la Physique, justement, elle s'approche de la Mécanique des Fluides en ceci qu'elle décrit (aussi, et également de façon approchée) des phénomènes qu'elle ne comprend pas forcément...


Mais ce que m'apprend ta réaction (dont je te remercie) c'est que l'utilisation du doute et de la réserve peut aussi paraître irritante... J'en prend bonne note...


À propos de précision, sache que je n'y suis pas insensible : Je trouve justement que les quatre page de Tuck manquent sur certains points de précision : les calculs y sont approchés et réservés aux corps d'assez grand "élancement" (l'élancement est le quotient L/D) mais l'auteur ne donne jamais la précision de ses résultats ni l'élancement minimal possible...

En mécanique des Fluides, de telles absences sont compréhensibles et coutumières, mais dans un travail mathématique c'est plus frustrant...


>>>>>>>>>>>>>>>>>>Est ce que tu as lu attentivement le bouquin suivant :
Batchelor, George. An introduction to fluid dynamics.<<<<<<<<<<

Le hasard veux que ce soir-même j'étais en train de relever une courbe de Batchelor (à propos de la Traînée des cylindres "assez long")(je ne parle pas comme ça pour t'embêter mais c'est l'expression assez floue que l'on utilise, en général). Je relevais cette courbe justement pour la confronter à la réalité des essais pratique car justement j'ai été gêné, tout au long de mon texte par le manque de précision des formules donnant la Traînée des cylindres "assez long" en régime de Stokes : en fait il y en a deux et donnant des résultats désagréablement différents !

Je passe mon temps à lire des texte de Mécanique des Fluides mais pas de Dynamique des Fluides (là je suis nul !) : Je pense que cette dernière science considère les fluides comme pouvant varier en pression et en température, or j'ai décidé il y a déjà quelques années de me contingenter en incompressible (donc en bas subsonique) : c'est un choix, et ça n'empêche pas qu'il me reste beaucoup de sujet à traiter dans ce domaine (disons que c'est celui de l'aviation légère)...

En te remerciant encore,
amicalement

Bernard

#8 27-09-2017 15:09:44

Bernard de Go Mars
Invité

Re : Mathématiques des bas Reynolds

Je crois utile de donner ici des nouvelles de mes tentatives d'exploitation des calculs de Tuck.

Finalement, et nonobstant les erreurs qui ont pu m'entraver quelques temps, j'ai réussi à pousser les calculs de Tuck jusqu'à donner 11 paramètres à son équation.

Cela m'a donné des résultats passionnants (et à mon sens inédits).

Voici par exemple une animation montrant le Cx linéaire de corps profilés de révolution :

animation Cx linéaire de corps d'Eiffel en régime de Stokes

De tels corps profilés ne sont nullement des corps de moindre Traînée en régime de Stokes (aux Reynolds <<1) mais il reste intéressant de connaître leurs caractéristiques de Traînée dans ce régime.

De même, voici une animation montrant le Cx linéaire de corps de révolution à génératrice recto-circulaire (génératrice rectiligne au centre avec des ogives à génératrices circulaires) :

animation donnant le Cx linéaire de corps à génératrice recto-circulaire en régime de Stokes

Pour ces deux familles de corps (dont chacune se décline selon l'élancement, à savoir le rapport L/D du corps), j'ai utilisé la règle empirique qui veut qu'en régime de Stokes, la forme des corps est beaucoup moins importante que dans tout autre régime (et spécialement aux hauts Reynolds) : j'ai d'ailleurs fait apparaître derrière la silhouette noire des corps les génératrices (rouge ou fuchsia) dessinées géométriquement : chacun pourra juger que les formes (noires) auxquelles je suis parvenu en manipulant les (nombreux) paramètres de l'équation de Tuck sont raisonnablement proches des formes géométriques.

D'où l'on peut tirer la conclusion que les caractéristiques de Traînée de ces corps seront assez bien approchée par les calculs de Tuck...

Merci pour votre lecture et désolé de n'avoir enthousiasmé aucun d'entre vous avec mes calculs...
Certains (beaucoup ?) aurons découvert à cette occasion que la Mécanique des Fluides est une science assez floue. Gageons qu'ils en auront aussitôt tiré la conclusion que, de ce fait, elle doit être abordée avec encore plus de rigueur...

Les questions que j'ai posées dans mes premiers messages demeurent valides : peut-être qu'une lecture attentive du court texte de Tuck (cité plus haut) permettrait à un mathématicien de m'indiquer les options de simplification adoptées par E. O. Tuck. Cette question reste essentielle...

Amicalement,
Bernard de Go Mars

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