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#1 17-03-2017 02:40:14

soso1
Membre
Inscription : 12-11-2016
Messages : 73

integrale

Bonjour


j étudie cette suite définie par une  intégrale ,j ai réussie a montrer que la suite est décroissante


Y a t'il une autre méthode ou astuce pour arriver à cette conclusion, mon intuition se porte sur les bornes de l'intégrale?


\(\displaystyle n\ge 1\)


\(\displaystyle { u }_{ n }=\int _{ { 2 }^{ n } }^{ { 2 }^{ n+1 } }{ \frac { dx }{ x\ln { x } } }\)



\(\displaystyle =\ln { \left( \ln { { 2 }^{ n+1 } } \right) } -\ln { \left( \ln { { 2 }^{ n } } \right) }\)


\(\displaystyle { u }_{ n }=\ln { \left( \frac { n+1 }{ n } \right) }\)



j 'ai décalé l'indice puis soustrait les deux suites et arrive au résultat ci dessous


\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad { \frac { 1 }{ n+1 } }<\frac { 1 }{ n }\)




\(\displaystyle \Leftrightarrow \quad { ln\frac {n+2 }{ n+1 } }<ln\frac { n+1 }{ n }\)




je vous dis merci par avance

Dernière modification par soso1 (17-03-2017 05:02:21)

Hors ligne

#2 17-03-2017 12:39:17

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 071

Re : integrale

Salut,

pas mieux !


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#3 17-03-2017 13:40:26

Roro
Membre
Inscription : 07-10-2007
Messages : 522

Re : integrale

Bonjour soso1,

Tu dois aussi pouvoir arriver au même résultat en faisant un changement de variable (si tu l'as déjà vu) :
\(\displaystyle u_{n+1} = \int_{2.2^n}^{2.2^{n+1}} \frac{dx}{x\, \ln x} = \int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac{2\, dy}{2y\, \ln (2y)}\)
Puisque \(\displaystyle \ln(2y)>\ln y\) tu en déduis
\(\displaystyle u_{n+1} < \int_{2^n}^{2^{n+1}} \frac{dy}{y\, \ln y}=u_n\) .

Roro.

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#4 17-03-2017 19:01:20

soso1
Membre
Inscription : 12-11-2016
Messages : 73

Re : integrale

merci,c'est noté

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