Forum de mathématiques - Bibm@th.net

emna123

Invité

convergence locallement uniformement

Merci de m'aider à montrer le problème suivant:

On suppose que [tex]G\subset \mathbb{C}[/tex] est un domaine de  Jordan.

On considère une suite de fonctions continues qui est croissante [tex]f_n:\partial G\to \mathbb{R}, n\in\mathbb{N},[/tex] et qui est uniformément bornée.

Soit [tex]u_n[/tex],  [tex]n\in\mathbb{N},[/tex] la solution du problème de Dirichlet  pour [tex]f_n[/tex] dans [tex]G[/tex].

Montrer que la suite des fonctions  [tex]u_n[/tex], [tex] n\in\mathbb{N},[/tex][tex][/tex] converge localement uniformément dans [tex]G[/tex] vers  [tex]u[/tex] harmonique dans [tex]G[/tex].

J'ai commencé la preuve comme suit:

Soit [tex]\Bbb{D}[/tex] le disque unité ouvert.  Par le theorem de Carathéodory ,il existe un homeomorphisme [tex]\varphi : \bar{\Bbb{D}} \to \bar{G}[/tex]. Donc il suffit de prouver le problème pour [tex]G = \Bbb{D}[/tex].

Par la formule de Poisson,  [tex]u_n : \bar{\Bbb{D}} \to \Bbb{R}[/tex] satisfait:

$$ u_n (z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}z|^2} f_n ( e^{it}) \, dt, \qquad z \in \Bbb{D}. \tag{1} $$

Comme $(f_n)_{n\geq 1}$ est strictement croissante, $(u_n)_{n\geq 1}$est aussi  strictement croissante.

et je suis bloqué ici.Merci bien de m'aider

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : convergence locallement uniformement

Bonjour,

  Voici une piste pour démarrer. Tu dois d'abord démontrer que la suite $(f_n)$ converge vers une fonction $f$ intégrable.
Ensuite, tu pourras démontrer que $(u_n)$ converge localement uniformément vers $u$, l'intégrale de Poisson de $f$.

F.

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

bonsoir Fred,

J'ai un examen demain matin , je doit dormir tôt et je me sent stressée, j'ai peur de rater l'examen. Mon prof nous a dit que nous aurons cette question dans l'examen. Je serai alors très reconnaissante si tu m'aide en détaillant la preuve.

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

Pour montrer que [tex]f_n[/tex] converge vers une fonction [tex]f[/tex] intégrable il faut utiliser le fait que $\displaystyle f_n:\partial G\to \mathbb{R}, n\in\mathbb{N},$ est une suite de fonction continue, strictement croissante et uniformément bornée. Mais je n'ai pas pu le faire. c'est 23:45 maintenant je me sont très stressée et je ne sait pas quoi faire.

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

Comme [tex](f_n)[/tex] est uniformément bornée, il existe un nombre [tex]M[/tex] tel que:
\[tex]forall n \in\mathbb{ N}, \forall z \in \partial \mathbb{D}, |f_n(z)| \le M[/tex]

Pour [tex] z[/tex] fixé, on a [tex](f_n(z))[/tex]  est strictement croissante et bornée donc elle converge vers une une fonction [tex]f(z)[/tex].
on a [tex]\int_{\partial \mathbb{D}}|f_n(z)|dz\le M\int_{\partial \mathbb{D}}dz<\infty[/tex] alors d’après le théorème de convergence dominé on a:

[tex]lim_{n\to+\infty}\int_{\partial \mathbb{D}}|f_n(z)|dz=\int_{\partial \mathbb{D}}lim_{n\to+\infty}|f(z)|dz
[/tex]
Or [tex]\int_{\partial \mathbb{D}}|f_n(z)|dz<\infty[/tex] then [tex]\int_{\partial \mathbb{D}}lim_{n\to+\infty}|f(z)|dz[/tex]

Ce que j'ai écrit est il correct?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : convergence locallement uniformement

Plus simplement, $|f_n|\leq M$ donc par passage à la limite, $|f|\leq M$ et les constantes sont intégrables sur le cercle.

Emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

Ensuite comment prouver que $(u_n)$  converge localement uniformément vers [tex]u: \bar{\Bbb{D}} \to \Bbb{R}[/tex] :

$$ u (z) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}z|^2} f ( e^{it}) \, dt, \qquad z \in \Bbb{D}. \tag{1} $$??
Merci bien de m'aider.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : convergence locallement uniformement

Je pense, simplement en écrivant la différence $u_n-u$, en écrivant que si $z\in D(0,\rho)$ avec $\rho<1$ et $t\in [0,2\pi]$, alors $\frac{1-|z|^2}{|1-e^{-it}z|^2}\leq M$, où $M$ ne dépend que de $\rho$, puis en appliquant le théorème de convergence dominée.

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

et où on va utiliser le fait que $f$ est intégrable ?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : convergence locallement uniformement

Comment est-ce que tu définis $u$ si tu ne sais pas que $f$ est intégrable?

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

Donc pour mettre tout au propre est il juste de rédiger comme suit:
Comme [tex](f_n)[/tex] est uniformément bornée, il existe un nombre [tex]M[/tex] tel que:
\[tex]\forall n \in\mathbb{ N}, \forall z \in \partial \mathbb{D}, |f_n(z)| \le M[/tex]

Donc $f_n$ converge simplement vers une fonction $f$ vérifiant $\int_{\partial\mathbb{D}}|f(z)|dz<\infty$.

On considère  $\displaystyle u: {\Bbb{\bar D}} \to \Bbb{R}$  avec $(z)= \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}z|^2} f ( e^{it}) \, dt, \qquad z \in \Bbb{D}. $

Montrer que $u_n$ converge localement uniformément vers $u$:

Soit $\rho<1$ et soit $z\in \mathbb{\bar D(0,\rho)}$ on a:
\begin{align*}
|u_n(z)-u(z)|&=|\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}z|^2}(f _n( e^{it}) -f ( e^{it})) \, dt|\\&\le \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1-|z|^2}{|1 - e^{-it}z|^2}|f _n( e^{it}) -f ( e^{it})|\, dt\\& \le\int_{0}^{2\pi}  \frac{1-|z|^2}{|1 - |z||^2}|f _n( e^{it}) -f ( e^{it})|\, dt
\end{align*}

Or
$z\to \frac{1-|z|^2}{|1 - |z||^2}$ est continue dans ${\bar D(0,\rho)}$(qui est compact)  alors il existe une constante $c$ tel que $\frac{1-|z|^2}{|1 - |z||^2}\le c_{\rho}$ alors pour tout $z\in {\bar D(0,\rho)}$ on a:
$|u_n(z)-u(z)|\le c_{\rho}\int_{0}^{2\pi} |f _n( e^{it}) -f ( e^{it})|\, dt$

Or on a il existe une constante $M>0$ tel que $|f _n( e^{it}) -f ( e^{it})|\le |f _n( e^{it})| +|f ( e^{it})|\le M$
pour tout $n\in\mathbb{N}$ et pour tout $t\in[0,2\pi]$

On peut donc appliquer le théorème de convergence dominé: on a $lim_{n\to +\infty}\int_{0}^{2\pi} |f _n( e^{it}) -f ( e^{it})|\, dt=\int_{0}^{2\pi} lim_{n\to +\infty}|f _n( e^{it}) -f ( e^{it})|\, dt=0$

Alors pour tout $z\in {\bar D(0,\rho)}$  $lim_{n\to +\infty}|u_n(z)-u(z)|=0$ ($u_n$ converge simplement vers $u$)

Or $(u_n)_n$ est une suite strictement croissante (car $(f_n)_n$ est strictement croissante), continue qui converge simplement vers $u$ sur tout compacte de $\mathbb{D}$  alors par le théorème de Dini, $u_n$ converge uniformément sur tout compacte de $\mathbb{D}$ vers $u$.

Ainsi   $u_n$ converge localement uniformément vers $u$.

Merci bien de m'aider à corriger cette rédaction.

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : convergence locallement uniformement

Cela a l'air correct, mais tu n'as pas besoin du théorème de Dini. A partir de l'inégalité

$|u_n(z)-u(z)|\le c_{\rho}\int_{0}^{2\pi} |f _n( e^{it}) -f ( e^{it})|\, dt$

tu déduis non seulement la convergence simple, mais en réalité la convergence la convergence uniforme sur $D(0,\rho)$.

F.

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

Je n'ai pas compris pourquoi, pouvez vous m'expliquer encore

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : convergence locallement uniformement

Parce que le membre de droite ne dépend pas de $z\in D(0,\rho)$. Autrement dit, tu as
$$\sup_{z\in D(0,\rho)} |u_n(z)-u(z)|\leq c_\rho\int_0^{2\pi}|f_n(e^{it})-f(e^{it})|dt.$$

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

D'accord et comment montrer que $u$ est une fonction harmonique?

Fred

Administrateur

Inscription : 26-09-2005

Messages : 7 047

Re : convergence locallement uniformement

Parce que c'est l'intégrale de Poisson d'une fonction intégrable??!?

emna123

Invité

Re : convergence locallement uniformement

je suis vraiment perdue! Merci infinément Fred