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#1 05-03-2017 15:02:19

Paskalo
Membre
Inscription : 05-03-2017
Messages : 11

Dans un sac... Pb de combinatoire

Bonjour à tous,

Mes cours de proba et combinatoires sont loin, (Bac en 89), mais je me souviens tout de même de quelques formules.

Cela dit, je bute sur un petit problème de dénombrement dont je vous fournis l'énoncé. Tout commence de la façon habituelle : "dans un sac..."

Dans un sac, il y a 50 boules, de 5 couleurs différentes : 10 noires, 10 blanches, 10 rouges, 10 jaunes et 10 bleues.
On tire au hasard 5 boules.

Questions :
1) combien y a-t-il de combinaisons possibles de couleurs (5 rouges, OU 1 noire et 4 jaunes, OU 3 bleues 1 verte et 1 rouge, etc...) ?
2) quelle est la probabilité de tirer 5 boules de la même couleur ?
3) quelle est la probabilité de tirer 5 boules de 5 couleurs différentes ?

Je me souviens des façons de résoudre les problèmes avec 2 couleurs (les sempiternelles boules noires et blanches), mais là, je cale...

Y a-t-il une bonne âme pour m'expliquer la manière d'arriver à la bonne solution ?

Merci d'avance à tous !

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#2 06-03-2017 09:33:18

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Dans un sac... Pb de combinatoire

Salut,

on tire avec ou sans remise ?
Remarque : la combinatoire, c'est comme le vélo, quand on a su en faire, difficile d'oublier ;-)

J'opte pour sans remise, plus classique.

pour la $1)$, on a $|\Omega|=\binom{50}{5}=\frac{50\times 49\times 48\times 47 \times 46}{5\times 4\times 3 \times 2}$, c'est le cardinal du référentiel ou l'univers de l'expérience aléatoire = nombre de cas possibles.

pour la $2)$, commence dans l'ordre : combien de cas favorables pour "rouge" ? $\binom{10}{5}$ non ?
Comme tu as 5 couleurs différentes, le nombre de cas favorables est égal à $5\times \binom{10}{5}$.

et donc ?


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 06-03-2017 10:18:02

Paskalo
Membre
Inscription : 05-03-2017
Messages : 11

Re : Dans un sac... Pb de combinatoire

Bonjour à vous,

Oui, effectivement, je n'avais pas précisé, mais c'est sans remise.

Je suis un peu étonné par votre réponse au 1)...

Pour moi, cette valeur (50*49*48*47*46)/(1*2*3*4*5) correspond au nombre possible de tirages différents dans le cas où toutes les boules sont différentes. (50 nuances de gris, par exemple. Disons, 50 numéros différents, ça fera moins littéraire !;) )

Or, dans ma vision des choses (qui est peut-être faussée), si l'on construit cet arbre des possibilités (50*49*48*47*46), il y a plusieurs branches qui conduisent à la même combinaison de couleurs, non ? Donc le nombre de possibilité devrait être inférieur ?

Non ?

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#4 06-03-2017 10:42:01

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Dans un sac... Pb de combinatoire

Bonjour,

  Le calcul de Freddy correspond à celui qui te permet de répondre aux questions suivantes (2 et 3).
Si je suis ce que tu veux dire, à mon avis tu devrais chercher du côté des combinaisons avec répétitions.

F.

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#5 06-03-2017 11:05:49

Paskalo
Membre
Inscription : 05-03-2017
Messages : 11

Re : Dans un sac... Pb de combinatoire

Si j'ai bien compris l'explication des combinaisons avec répétitions (après lecture également de l'article sur WP),

la solution de 1) serait donc "Gamma n k" avec n=5 (5 couleurs discernables) et k = 5 (5 tirages)...?

En chiffrant : N = (5+5-1)! / (5! * (5-1) ! ) = 9! / (5!*4!) = 9*8*7*6 / (4*3*2) = 126.

J'ai bon ?

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#6 06-03-2017 11:21:19

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Dans un sac... Pb de combinatoire

C'est ce que je pense!

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#7 06-03-2017 11:30:33

Paskalo
Membre
Inscription : 05-03-2017
Messages : 11

Re : Dans un sac... Pb de combinatoire

J'aurais envie d'écrire que la réponse au 2) est f=5/126 et au point 3) f = 1/126...

Mais intuitivement, je sens que c'est faux, puisque toutes les possibilités ne sont pas équiprobables. (je n'arrive pas à le justifier, mais ça me semble "évident" - désolé pour le terme !) ;)

Vers quelle(s) formule(s) faudrait-il se tourner pour calculer ces deux probabilités ?

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#8 06-03-2017 12:49:58

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Dans un sac... Pb de combinatoire

Là, je pense que tu dois te reporter à la réponse de Freddy, qui te dit de :
1. dénombrer tous les tirages possibles
2. dénombrer tous les tirages qui amènent 5 boules de la même couleur.

F.

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