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#1 27-02-2017 13:19:13
- kadaide
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- Messages : 182
négation d'une proposition
Bonjour
J'ai un exemple trouvé sur internet:
La négation de "tout" est "au moins un..."
Si on raisonne en ensemble:
soit A un ensemble d'éléments {x1,x2,...xn}.
La négation de A est "au moins un élément xp de A".
Je ne comprends pas que xp de A soit une négation de A, à moins que je fais fausse route...
Merci pour vos commentaires
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#2 27-02-2017 15:21:50
- tibo
- Membre expert
- Inscription : 23-01-2008
- Messages : 1 097
Re : négation d'une proposition
Bonjour,
Je doute que tu ais trouvé sur un site "sérieux" la phrase <<La négation de "tout" est "au moins un...".>>
Telle quelle, ce n'est même pas que c'est faux ; cette phrase n'a juste aucun sens.
Reprenons les choses proprement :
Considérons une phrase $P(x)$ qui dépend d'une variable $x$.
Tant qu'on ne donne pas d'information sur $x$, cette phrase n'est ni vraie, ni fausse. C'est juste une phrase qui dépend de $x$.
On appelle ça un prédicat.
Par exemple <$x$ est pair> est un prédicat.
Pour que cette phrase devienne une assertion (ou une proposition) et ait une valeur logique (VRAI ou FAUX), il faut ajouter un quantificateur.
Il en existe deux :
- pour tout $x$ (noté $\forall x$)
- il existe (au moins un) $x$ (noté $\exists x$)
Je met "au moins un" entre parenthèses car il est souvent sous-entendu que "il existe" signifie "il existe au moins un".
Par exemple
- <Pour tout entier naturel $x$, $x$ est pair.> est une assertion fausse.
- <Il existe un entier naturel $x$ tel que $x$ est pair.> est une assertion vraie.
Et ces quantificateurs suivent la règle suivante :
$non(\forall x,P(x))\quad\Leftrightarrow\quad\exists x, non(P(x))$
$non(\exists x,P(x))\quad\Leftrightarrow\quad\forall x, non(P(x))$
Par exemple la négation de <Pour tout entier naturel $x$, $x$ est pair.> est <Il existe un entier naturel $x$ tel que $x$ n'est pas pair.>
Dernière modification par tibo (27-02-2017 15:27:30)
A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !
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#3 27-02-2017 18:27:40
- kadaide
- Membre
- Inscription : 02-04-2013
- Messages : 182
Re : négation d'une proposition
Bonjour tibo et merci pour ta réponse.
Oui, j'étais un peu rapide en simplifiant.
Voici exactement ce que j'ai trouvé:
• La négation de « Tous…A » n’est pas « Aucun…A » mais c’est « Il existe au moins un…A »
Bon, ça concerne une proposition et moi j'ai voulu la transposer à un ensemble d'éléments mais finalement ça ne marche pas!
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