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#1 27-02-2017 12:19:13

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 182

négation d'une proposition

Bonjour

J'ai un exemple trouvé sur internet:
La négation de "tout" est "au moins un..."

Si on raisonne en ensemble:

soit A un ensemble d'éléments {x1,x2,...xn}.

La négation de A est "au moins un élément xp de A".

Je ne comprends pas que xp de A soit une négation de A, à moins que je fais fausse route...

Merci pour vos commentaires

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#2 27-02-2017 14:21:50

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : négation d'une proposition

Bonjour,

Je doute que tu ais trouvé sur un site "sérieux" la phrase <<La négation de "tout" est "au moins un...".>>
Telle quelle, ce n'est même pas que c'est faux ; cette phrase n'a juste aucun sens.


Reprenons les choses proprement :

Considérons une phrase $P(x)$ qui dépend d'une variable $x$.
Tant qu'on ne donne pas d'information sur $x$, cette phrase n'est ni vraie, ni fausse. C'est juste une phrase qui dépend de $x$.
On appelle ça un prédicat.
Par exemple <$x$ est pair> est un prédicat.

Pour que cette phrase devienne une assertion (ou une proposition) et ait une valeur logique (VRAI ou FAUX), il faut ajouter un quantificateur.
Il en existe deux :
- pour tout $x$ (noté $\forall x$)
- il existe (au moins un) $x$ (noté $\exists x$)
Je met "au moins un" entre parenthèses car il est souvent sous-entendu que "il existe" signifie "il existe au moins un".
Par exemple
- <Pour tout entier naturel $x$, $x$ est pair.> est une assertion fausse.
- <Il existe un entier naturel $x$ tel que $x$ est pair.> est une assertion vraie.

Et ces quantificateurs suivent la règle suivante :
$non(\forall x,P(x))\quad\Leftrightarrow\quad\exists x, non(P(x))$
$non(\exists x,P(x))\quad\Leftrightarrow\quad\forall x, non(P(x))$
Par exemple la négation de <Pour tout entier naturel $x$, $x$ est pair.> est <Il existe un entier naturel $x$ tel que $x$ n'est pas pair.>

Dernière modification par tibo (27-02-2017 14:27:30)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#3 27-02-2017 17:27:40

kadaide
Membre
Inscription : 02-04-2013
Messages : 182

Re : négation d'une proposition

Bonjour tibo et merci pour ta réponse.

Oui, j'étais un peu rapide en simplifiant.
Voici exactement ce que j'ai trouvé:

• La négation de « Tous…A » n’est pas « Aucun…A » mais c’est « Il existe au moins un…A »

Bon, ça concerne une proposition et moi j'ai voulu la transposer à un ensemble d'éléments mais finalement ça ne marche pas!

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