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#1 21-02-2017 23:23:25

Rodrigue.r
Invité

DSE en 0 d'une fonction

Salut. Svp, pouvez vous m'aider:
Je veux trouver le DSE en 0 de la fonction: $e^{cos(x)}$

Merci d'avance

#2 22-02-2017 13:44:21

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : DSE en 0 d'une fonction

Bonjour, admettons que l'on fasse le dl à l'ordre 4.
$$cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$
$$exp(cos(x))=exp(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))=exp(1) exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))$$

Maintenant quand  $u$ tend vers 0, $$exp(u)=1+u+1/2 u^2+o(u^2)$$
Donc $$exp(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))=1+(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))+1/2(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4))^2+o(x^4).$$

Il suffit de développer cette dernière expression en ne gardant que les terme de degré $<=4$, les autres donnant un $ox^4$

pour trouver finalement $$exp(cos(x))=exp(1)(1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{6})+o(x^4).$$

Hors ligne

#3 22-02-2017 14:27:43

Rodrigue.r
Invité

Re : DSE en 0 d'une fonction

Je cherche un Developpement en serie entiere en 0 de la fonction et pas un DL!!

#4 22-02-2017 15:03:56

Yassine
Membre
Inscription : 09-04-2013
Messages : 1 090

Re : DSE en 0 d'une fonction

Peut être en écrivant $\left(e^{\cos(x)}\right)' = -\sin(x)e^{\cos(x)}$, en utilisant le produit de Cauchy, tu pourra trouver une équation satisfaites par les coefficients du DSE ?


L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

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#5 22-02-2017 15:49:20

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : DSE en 0 d'une fonction

Oui, j'ai mal lu la question

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