Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
#1 19-02-2017 20:00:54
- paulinehbrt
- Membre
- Inscription : 19-11-2016
- Messages : 9
Valeurs propres et matrices diagonalisables
Bonsoir,
Je me posais une question, lors de la résolution d'un exercice sur la diagonalisation des matrices.
Voici le contexte :
On a une matrice M qui est en fait une combinaison linéaire de plusieurs matrices : M=xI+yA+zA²+tA3
(où la matrice I est la matrice identité de même dimension que M et la matrice A est donnée)
Dans l'exercice, on demande de trouver les valeurs propres de A, ce que j'ai fait, et d'écrire la relation A=PDP-1 où D est la matrice diagonale semblable à A.
Ensuite, on nous demande de déduire de cette formule les valeurs propres de M et on nous donne l'indication suivante :
Si e et f sont des valeurs propres respectivement de E et F, alors pour tout a,b,c réels, (a*eb+c*f) est valeur propre de la matrice (a*Eb+c*F)
Du coup, je me disais que je pouvais utiliser le fait que Ak=PDkP-1
Et là je me suis demandé, est-ce que les coefficient diagonaux de D² que je vais calculer seront les valeurs propres de A² ?
Et aussi, dans l'indication ils donnent un exemple avec 2 matrices, mais est-ce que vous pensez que je peux étendre cette indication à l'expression xI+yA+zA²+tA3 ou est-ce qu'il faut que je traite d'abord xI+yA puis zA²+tA3 ?
Je vous remercie d'avance pour votre aide !
Pauline
Dernière modification par paulinehbrt (19-02-2017 20:01:24)
Hors ligne
#2 19-02-2017 20:15:10
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Valeurs propres et matrices diagonalisables
L'indication n'est pas claire. Sinon on utilise bien A^k=PD^kD^-1
D^k est diagonale , elle est la matrice D (vp de A) dont chaque terme est élévé à la pussance k.
Maintenant M=P^-1 x I P+ P^-1 y D^1 P +....= P^-1(x I +y D +z ^D^2 +t^D^3) P
posons p(D)=(x I +y D +z ^D^2 +t^D^3) est une matrice diagonale dont les élément dans la diagonale sont les images par par p
des elemnts diagonaux de D?
p(D)=P M P^(-1) c'est la diagonalisation de M est on les valeurs propres
Hors ligne
#3 19-02-2017 20:31:33
- paulinehbrt
- Membre
- Inscription : 19-11-2016
- Messages : 9
Re : Valeurs propres et matrices diagonalisables
Merci de votre réponse.
Qu'est ce qui n'est pas clair dans l'indication ?
D'accord, du coup vous utilisez une méthode un peu différente, mais je crois que j'ai compris. Les valeurs propres de M sont alors les coefficients diagonaux de la matrice p(D) c'est bien cela ?
Hors ligne
#5 20-02-2017 12:43:20
- freddy
- Membre chevronné
- Lieu : Paris
- Inscription : 27-03-2009
- Messages : 7 457
Re : Valeurs propres et matrices diagonalisables
Salut l'ami,
je loue ton esprit d'entraide et le niveau auquel tu voles.
Toutefois, si tu baisses un peu les yeux sur un de tes écrans de contrôle, tu devrais voir ceci :
Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...
Avant de prendre ton envol, je pense que tu dois faire liste des "trucs" à vérifier.
Si tu pouvais faire de même ici, je t'en saurais infiniment gré.
Bon courage et merci encore.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
Hors ligne