Forum de mathématiques - Bibm@th.net

tina

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eq dans D'

Bonjour,
est-ce que l'ensemble des fonctions d'une équations d'ordre $2$ homogéne dans $\mathcal{D}'$ à coefficients constants:$$ T'' + aT'+ b T=0$$ forme un espace vectoriel d'ordre 2? Comment le justifier? et est-ce que ça a une relation avec les équations d'ordre 2 dans $\mathbb{R}$?
Merci par avance pour votre aide

Dernière modification par tina (18-02-2017 21:54:14)

Yassine

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Re : eq dans D'

Bonjour,
J'imagine que tu veux parler de dimension et non d'ordre (un e.v. étant en particulier un groupe, l'ordre d'un groupe est le nombre d'éléments).
Je ne vois pas pourquoi une démonstration qui marche dans le cas général (une fonction) ne marcherait pas dans le cas particulier d'une constante (qui n'est autre qu'une fonction qui associe à tout élément la même image).
S tu connais le résultat pour les fonctions, déroule-le ici et on verra ce qui bloquerait dans le cas 'une constante.

Dernière modification par Yassine (19-02-2017 14:11:51)

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L'ennui dans ce monde c'est que les idiots sont sûrs d'eux et les gens sensés pleins de doutes. B. Russel

aviateur

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Re : eq dans D'

Dans la question, il  a 2 (gros) problèmes pour avoir une réponse précise et comphréensible de votre part. :
D'abors,  je  ne comprends ce que c'est D'. Est ce que c'est  D'(R) l'espace des distributions? Si c'est le cas la question se pose à un niveau élevé dont une réponse courte est possible en fonction de votre niveau de connaissance.

Sinon si la question se pose dans un ensemble plus petit que D'(R)  (par exemple l'espace des fonctions au sens classique)
alors il est classique de voir qu'il y a un espace vectoriel de dim solution (on trouve cela partout).
La vraie difficulté est de montrer est alors de démontrer qu'il n'y a pas de solution en dehors de cet e.V de dim 2.
Mais dans ce cas c'est équivalent à démontrer que si u est une solution vérifiant u(0)=u'(0)=0 alors u=0. Pour cela il faut
utiliser le th (fondamental)  de Cauchy Lips, qui au demeurant demande une certaine aisance pour comprendre sa démonstration.

En conclusion il n'est pas facile de vous aider d'avantage car la question n'est pas assez précise et tout dépend de vos connaissances des des outils à votre disposition .

aviateur

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Re : eq dans D'

Pour répondre à la question ou D'=D'(R) (c'est ce je crois comprendre). C'est un peu long mais on peut procéder en plusieurs étapes et  utiliser des résultat connus comme par exemple T'=0 (dans D')  equivalent à T=cste.
etape 1. Résolution de  T'=-aT  (dans D').
On sait déjà que   T(x)= cste exp(-a*x) est solution. La difficulté est de démontrer qu'il n'y a pas d'autre solution (ds D'). Si on sait faire cela on peut dire que cette etape est l'analogue de la question posée mais pour une edo d'ordre 1.
On cherche les solutions de la forme T=exp(-ax) U
dc T'+aT=0=exp(-ax) U', ce qui veut dire < exp(-ax) U',fi>=0 forall fi in D(R), ou encore < U',exp(-ax)fi>=0
soit   il est facile de voir que l'application  fi ->exp(-ax)fi  est une bijection de D(R) vers D(R), dc  <U', psi>=0 forall psi in D(R).
d'où U'=0  et U=cste. on a fini l'étape 1.

etape 2. soit m une solution de   m^2+am +b=0 et u(x)=exp(m*x).
On cherche les distributions T solution de la forme T=V u. En remplaçant on trouve que V''+(a+2 m) V'=0. On pose
W=V'. Donc W'+(a+2m)W=0. On se retrouve avec une équation du premier ordre (ds D').  L'étape 1. va servir ici et en continuant avec riguer on doit arriver au bout sans vraiment de difficultés nouvelles.