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#1 18-02-2017 04:56:41

kritikos
Membre
Inscription : 03-09-2016
Messages : 41

Développement limité2

Bonjour a tous . j'ai un problème en développement limite. En effet soit la fonction f(x) = 2tan(x) - x
Elle est défini de ]-π/2, π/2[ vers R.
Je n'arrive pas a montrer que sa bijection réciproque est impaire et j n'arrive pas aussi a trouver le développement limite de sa bijection réciproque au voisinage de 0 a l'ordre 6.
Merci d'avance..

Hors ligne

#2 18-02-2017 07:03:22

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Développement limité2

Bonjour,

1. La fonction réciproque d'une fonction impaire est toujours impaire. Ecris
$f^{-1}(-y)=f^{-1}(-f(x))=...$.

2. C'est un petit peu comme la dernière fois. Tu commences par calculer le dl de f. Tu écris de façon abstraite celui de $f^{-1}$
(en tenant compte du fait que la fonction est impaire). Puis tu compose les dls. Tu obtiens un dl à l'ordre 6. Tu écris que c'est égal à x, et tu raisonnes par unicité du dl.

En plus, si tu cherches bien, il y a le corrigé de cet exercice sur le site....

F.

Hors ligne

#3 18-02-2017 07:49:28

kritikos
Membre
Inscription : 03-09-2016
Messages : 41

Re : Développement limité2

Bonjour Fred. Et merci  beaucoup pour l'aide.

Hors ligne

#4 19-02-2017 15:49:37

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Développement limité2

Les justifications étant faites. Posons g=f^(-1)
par cacul   f(x)=x + (2 x^3)/3 + (4 x^5)/15 + o(1/x^6)
et g(x)=x +a x^3+ b^x^5+o(1/x^6)
Puisque f(x)->0 et que
x=g(f(x))= x + (2 x^3)/3 + (4 x^5)/15 + o(1/x^6)+b* (x + (2 x^3)/3 + (4 x^5)/15 + o(1/x^6))^3+
b*(x + (2 x^3)/3 + (4 x^5)/15 + o(1/x^6))++ o(1/x^6)
Il suffit de développer en retenant que les termes en x^3 et x^5  sont nuls
d'où 2/3+a=0 et 4/15+2a+ b=0  soit a=-2/3 et b = 16/15

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