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#1 18-02-2017 00:37:49

yann06
Membre
Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 59

espace vectoriel (débutant)

Bonsoir    à tous , à toutes

Voilà , pendant les vacances , je me suis intéressé aux Espaces vectoriels , ce n'est pas mon programme de cette année mais j'aime beaucoup les mathématiques : j'ai essayé de faire un exemple simple : (ce n'est pas un DM à  rendre !!)

on considère une ensemble E non vide qui sera l'ensemble des vecteurs et un ensemble $\mathbb{R}$ qui sera l'ensemble des nombres muni de l'addition des nombres réels et de la multiplication des nombres réels


j'appelle E l'ensemble des fonctions numériques définies sur [0,1] . Ce sont mes vecteurs
je vais définir une loi de composition interne en associant à  deux fonctions ,une fonction :
si f et g sont deux fonctions , j'appelle f + g la fonction définie par :
f + g $x\mapsto$ f(x) + g(x)
j'emploie le meme signe + des deux cotés , mais dans f + g , ce n'est pas l'addition habituelle (celle des nombres)
une loi de composition interne est notée $\dot{+}$  (il faut noter le symbole d'addition avec un point pour éviter de la confondre avec les nombres

si $f :x\mapsto2x - 1$ et $g :x\mapsto$$x^{2} + 1$ alors leur somme est la fonction $f\dot{+}g$
tout d'abord , il faut vérifier que $f\dot{+} g$ est dans $E$ Pour tout x entre 0 et 1 , f(x) et g(x) existent , $f(x)\dot{+}g(x)$ aussi
$f(x) \dot{+} g(x) $ est bien définie sur [0,1]
ensuite on va vérifier les 4 propriétés de la loi de composition interne
1 ) Pour l'associativité ,
la loi $\dot{+}$ est commutative , pour tout $(\overrightarrow{a}\dot{+}\overrightarrow{b})\dot{+}\overrightarrow{c}=  $
  il faut une autre fonction de E , je l'appelle h
$(f \dot{+}g)\dot{+}h  : x\mapsto(f \dot{+} g ) (x) \dot{+} h(x) $
$(f\dot{+}g) \dot{+}h : x\mapsto (f \dot{+}g)(x) \dot{+} h(x) = f(x)\dot{+}g(x)  \dot{+} h(x)$

$f \dot{+}(g \dot{+} h) : x\mapsto f (x)\dot{+} (g \dot{+}h) (x) = f(x)\dot{+}g(x)\dot{+} h(x)$

comme $ (f \dot{+}g)\dot{+}h = f(x) \dot{+}g(x)\dot{+}h(x)$
et $f \dot{+} (g \dot{+}h) = f(x) \dot{+}g(x) \dot{+} h(x)$
alors $(f\dot{+}g) \dot{+}h = f\dot{+ }(g\dot{+}h)$

l'associativité est vérifiée

2 ) Pour la commutativité
la loi $\dot{+}$ est commutative c'est à dire pour tout $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \in E$ on a $\overrightarrow{a}\dot{+}\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\dot{+}\overrightarrow{a}$

l'opération commute si a ,b et c sont dans le meme ensemble
$a\dot{+}b = b\dot{+}a = c$

3) il existe un élément neutre pour la loi $\dot{+}$ il existe $\overrightarrow{e} \in E$  tel que pour tout  $\overrightarrow{a} \in E $ on a $\overrightarrow{e} \dot{+}\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}\dot{+} \overrightarrow{e} = \overrightarrow{a}$

est ce que vous pouvez vous m'aidez pour la commutativité ?

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#2 18-02-2017 07:04:34

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : espace vectoriel (débutant)

Salut

  C'est très semblable à l'associativité.... Le point clé est que $f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$....

F.

En ligne

#3 18-02-2017 10:47:55

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : espace vectoriel (débutant)

Bonjour,

Bravo de t'intéresser à ce qui se passe au delà au-delà de ton horizon scolaire...
Mais

ensuite on va vérifier les 4 propriétés de la loi de composition interne

Une loi de composition interne est une application de E X E dans E...
Pour moi, de base, une loi de composition interne, ne possède pas forcément les 4 propriétés citées.
Si j'acceptais ton affirmation : "les 4 propriétés", alors la soustraction dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] n'est pas une loi de composition interne dans [tex]\mathbb{Z}[/tex]...
Or, c'est pourtant le cas : on compose bien deux éléments de [tex]\mathbb{Z}[/tex] et le nombre composé est encore dans  [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Par contre ce n'est pas vrai dans [tex]\mathbb{N}[/tex]

Par contre, tout ensemble E muni d'une loi * possède une structure plus ou moins complexe...
Ainsi de [tex](\mathbb{Z}, +)[/tex]
La loi +
* est associative,
* elle possède un élément neutre
* tout élément possède un symétrique
Ces propriétés confèrent à [tex]\mathbb{Z}[/tex] une structure dite de Groupe.
En outre, comme + est une loi commutative, on dira que [tex](\mathbb{Z}, +)[/tex] est un Groupe commutatif (encore dit abélien, du nom du mathématicien Niels Abel...
Ce n'est pas tout.
Si on on introduit une deuxième loi, x,  dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] :
cette loi est associative, possède un élément neutre mais il existe au moins un élément qui n'a pas de symétrique (0 est le plus évident).
de plus, elle est distributive par rapport à l'addition...
On dit alors que  ([tex]\mathbb{Z},+,x)[/tex] est un Anneau.
Comme x est commutative cet Anneau est dit commutatif...
http://www.bibmath.net/ressources/index … nneau.html
https://fr.wikipedia.org/wiki/Anneau_unitaire

Tu as largement maintenant de quoi te pencher sur la structure de ton ensemble E que ce soit celle de [tex](E,\dot{+},\dot{\times})[/tex] ou celle de [tex](E,\dot{+},\circ)[/tex], $\circ$ étant la loi de composition des fonctions.

@+


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#4 18-02-2017 14:44:40

yann06
Membre
Lieu : CANNES
Inscription : 11-01-2017
Messages : 59

Re : espace vectoriel (débutant)

salut Yoshi

Pour l'instant , voilà ce que j'ai compris sur les espaces vectoriels :
On considère un ensemble E non-vide (qui sera l'ensemble des vecteurs et que l'on notera avec des flèches) et un ensemble $\mathbb{R}$ (qui sera l'ensemble des nombres , des scalaires par exemple) muni de l'addition des nombres réels et de la multiplication des nombres réels

ensuite
on va définir deux lois de composition (deux opérations) :
- une loi interne , notée $\dot{+}$ c'est à dire une application (ou une fonction ) de $E \times E$ dans $E$ qui à deux éléments $\overrightarrow{a}$ et $\overrightarrow{b}$ de $E$ va  associer  leur somme $\overrightarrow{a}\dot{+}\overrightarrow{b}$
( et on note le symbole de l'addition avec un point pour ne pas confondre avec l'addition habituelle)
jusque là , je ne dis pas trop de bêtises ???
ensuite
-une loi de composition externe dans un ensemble $E$ à opérateurs dans $\mathbb{R}$ donc $E\times \mathbb{R}$ qui à un nombre $\lambda$ de $\mathbb{R}$ et à un élément $\overrightarrow{a}$de $E$ va associer leur produit $\lambda\dot{+}\overrightarrow{a}$

ensuite on dit que $(E,\dot{+}, .)$ est un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{R}$ ou un $\mathbb{R}$ espace-vectoriel , s'il vérifie :
- la loi $\dot{+}$ est associative , c'est à dire pour tout $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b};\overrightarrow{c} \in E$ on a $(\overrightarrow{a}\dot{+}\overrightarrow{b})\dot{+}\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\dot{+}(\overrightarrow{b}\dot{+}\overrightarrow{c})$

- la loi $\dot{+}$ est commutative , c'est à dire  pour tout $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b} \in E$ , on a $\overrightarrow{a}\dot{+}\overrightarrow{b} = \overrightarrow{b}\dot{+}\overrightarrow{a}$

- il existe un élément neutre pour la loi $\dot{+}$( il existe $\overrightarrow{e}\in E$ tel que pour tout $\overrightarrow{a} \in E$ , on a $\overrightarrow{e}\dot{+}\overrightarrow{a} = \overrightarrow{a}\dot{+}\overrightarrow{e} = \overrightarrow{a}$

après pour l'élément symétrique , je n'ai pas compris

pour la loi externe , k est un réel et a un élément de $E$ mais là encore je commence à les étudier

ensuite , (tu/vous)  me dites :
l
la soustraction sur $\mathbb{Z} $ n'est pas  une loi de composition interne sur $\mathbb{Z}$ ??

voilà , déjà ce point là , je suis largué
je raisonne comme ça :
- les nombres positifs , ce sont les entiers naturels , c'est à dire $\mathbb{N}$
- les entiers relatifs , ce sont les nombres positifs et les nombres négatifs , c'est à dire $\mathbb{R}$
pour $\mathbb{Z}$ , j'ai un peu oublié

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#5 18-02-2017 16:33:37

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : espace vectoriel (débutant)

Re,

yann06 a écrit :

la soustraction sur Z n'est pas  une loi de composition interne sur Z ??

Ce n'est pas ce que j'ai écrit ! La citation exacte est :

Si j'acceptais ton affirmation : "LES 4 propriétés", alors la soustraction dans Z n'est pas une loi de composition interne dans Z ...
Or, c'est pourtant le cas : on compose bien deux éléments de Z et le nombre composé est encore dans  Z . Par contre ce n'est pas vrai dans \mathbb{N}.

Donc, je me résume :
* les lois de composition ont -potentiellement -  plus de propriétés que 4...
* elles  peuvent être être externes ou internes.
Si une loi de composition est interne c'est une application de E x E dans E : c'est la définition...
La soustraction dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] est bien une application de [tex]\mathbb{Z}[/tex] x [tex]E[/tex] dans [tex]E[/tex].
C'est clair pour l'instant ?
Par contre, ta formulation :
les 4 propriétés d'une loi... est incorrecte :
1. D'abord, parce qu'existe encore la distributivité d'une loi sur une autre, ça en fait une 5e...
2. Ensuite, tu écris qu'une loi de composition interne possède propriétés  que tu testes ensuite
    Ce qui revient à dire que toute loi de composition ne possédant pas ces propriétés n'est pas une loi de composition interne...
    Alors, je t'ai renvoyé à la soustraction dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] :
    * elle n'est pas associative [tex](1-2)-3 \neq 1-(2-3)[/tex]
    * elle n'est pas commutative [tex]1-2 \neq 2-1)[/tex]
    * elle n'a pas d'élément neutre : [tex]\nexists\ e \in \mathbb{Z}, \forall a \in \mathbb{Z} , a-e=e-a=a[/tex]
    * tout élément de [tex]\mathbb{Z}[/tex] ne possède donc pas de symétrique...
Donc, voilà le sens de mon intervention : la soustraction ne possède aucune - comme tu l'écris - "des 4 propriétés d'une loi de c.i.", si je suis ta formulation, je suis obligé de dire :
la soustraction dans [tex]\mathbb{Z}[/tex] n'est pas une loi de composition interne, ce qui est faux, bien sûr !

Que demande-t-on à une loi de composition donnée pour être qualifiée d'interne dans un ensemble E donné ?
Simplement et uniquement d'être une application de E x E dans E !
Les propriétés citées, c'est comme les cerises sur le gâteau, c'est du "bonus"...
Tiens prenons l'addition :
* dans l'ensemble des nombres pairs, c'est une loi de composition interne,
* dans l'ensemble des nombres impairs, ce n'est pas une loi de composition interne.
   Et dans ce dernier cas, ce qui est amusant, c'est qu'elle est pourtant associative et commutative...

En ce qui concerne les e.v proprement dits, j'ai un peu (!) oublié ça : je n'ai pas remis les mains dedans depuis plus de 40 ans...
Alors, il va falloir que je révise, ou que je remette la main sur mes cours de Fac (je suis à peu près sûr de les avoir encore !) : ça me rajeunira...
Je n'ai aucun souvenir de la notation [tex]\dot{+}[/tex] : je pense qu'au début elle peut être utile (ou alors qu'elle est "récente"), mais que par la suite, on utilise + tout court en gardant dans un coin de l'esprit que si le symbole est le même, l'opération, non !

Voilà, j'espère que j'aurai dissipé les nuées !

@+


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#6 18-02-2017 20:25:24

yann06
Membre
Lieu : CANNES
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Messages : 59

Re : espace vectoriel (débutant)

saalut Yoshi

en fait je comprends que le début de ton message
c'est à dire :

- les lois de composition peuvent être interne ou externe
- si une loi de composition  est interne  ,c'est une application de $E \times E$ dans E

mais à partir de là , je ne comprends plus
- la soustraction dans $\mathbb{Z}$est une application de $\mathbb{Z}\times E$ dans $E$

$\mathbb{Z}$ c'est quel ensemble ???
$\mathbb{N} = (0,1,2,3,4,....)$
$\mathbb{R} = (.....,-3;-2;-1;0;1;2;3;......)$
$\mathbb{Z}= ??$

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#7 19-02-2017 09:38:22

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 948

Re : espace vectoriel (débutant)

Salut,

J'avais pourtant répondu : oubli de valider probable...
On recommence !
J'ai gaffé, il fallait évidemment lire (ah, ces copier/coller mal gérés !) :
application de [tex]\mathbb{Z}[/tex] x [tex]\mathbb{Z}[/tex] dans [tex]\mathbb{Z}[/tex]

[tex]\mathbb{N}[/tex] ensemble des nombres entiers naturels
[tex]\mathbb{Z}[/tex] ensemble des nombres entiers relatifs (avec signes)
[tex]\mathbb{D}[/tex] ensemble des nombres décimaux relatifs
[tex]\mathbb{Q}[/tex] ensemble des nombres rationnels
[tex]\mathbb{R}[/tex] ensemble des nombres réels
[tex]\mathbb{C}[/tex] ensemble des nombres complexes
avec
[tex]\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}[/tex]

@+


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