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alexre007

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Suite espace hilbert

Bonjour,
voici un exercice dans les espaces de Hibert. [tex]a[/tex]

Alexre

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Re : Suite espace hilbert

Bonjour,
voici un exercice dans trouvé dans les espaces de Hibert.
[tex]{{a}_{n}}[/tex] est une suite de nombre positifs telle que [tex]\sum{{{a}_{n}}{{b}_{n}}}<+\infty [/tex]
pour toute suite [tex]{{b}_{n}}[/tex] vérifiant [tex]\sum{b_{n}^{2}}<+\infty [/tex].
Démontrer que [tex]\sum{a_{n}^{2}}<+\infty [/tex].
Si vous avez une petite idée...

Fred

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Re : Suite espace hilbert

Bonjour,

  Je te propose une démonstration en 2 étapes :

1. Tes hypothèses entrainent la propriété suivante : il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout suite $(b_n)$ telle que $\sum_n b_n^2<+\infty$, alors
$$|\sum_n a_nb_n|\leq M\left(\sum_n b_n^2\right)^{1/2}.$$
Pour démontrer ceci, tu as besoin de résultats d'analyse fonctionnelle du type le théorème de Banach-Steinhaus.

2. Une fois ceci démontré, tu appliques cette propriété à la suite $(b_n)$ définie par $b_n=a_n/(a_1^2+\dots+a_N^2)^{1/2}$ si $1\leq n\leq N$, et $b_n=0$ si $n>N$. Tu devrais pouvoir en déduire quelque chose sur $\sum_{n=1}^N a_n^2$....

On peut (sûrement) se passer de l'étape 1 en faisant un raisonnement "par blocs" s'inspirant de l'étape 2, mais c'est certainement plus difficile techniquement!

F.

Alexre

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Re : Suite espace hilbert

Bonjour,
voici un exercice dans trouvé dans les espaces de Hibert.
[tex]{{a}_{n}}[/tex] est une suite de nombre positifs telle que [tex]\sum{{{a}_{n}}{{b}_{n}}}<+\infty [/tex]
pour toute suite [tex]{{b}_{n}}[/tex] vérifiant [tex]\sum{b_{n}^{2}}<+\infty [/tex].
Démontrer que [tex]\sum{a_{n}^{2}}<+\infty [/tex].
Si vous avez une petite idée...

J'ai oublié d'annoncer que les [tex]{{b}_{n}}[/tex] sont positifs

aviateur

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Re : Suite espace hilbert

On peut voir la solution du problème d'une façon un peu différente: Soit  $X=l^2(\N)$ et X'son dual.

L'application linéaire  $\phi$ : $b=(b_n)\in X \mapsto  \phi(b)= \sum a_n b_n$ est continue d'après les hypothèses et  bien sûr le th de Banach-Steinhaus.

Autrement dit, $\phi \in X'.$ il existe donc ( th de rep. de Riesz) $c=(c_n)\in X$  tel que $\phi(b)=\sum a_n b_n =\sum c_n b_n .$
pour tout $b\in X.$

C'est très facile de voir  que $c_n=a_n$ pour tout $n.$ D'où le résultat.

Alexre

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Re : Suite espace hilbert

Ok. Merci.