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Driss

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angle orienté et signe négatif

Bonsoir

ma question est la suivante :
A quoi sert le moins devant un angle orienté [tex] ( \vec{u}; \vec{v}) [/tex]

En fait, tout part de  [tex] ( \vec{v}; \vec{u}) \ =\ -(\vec{u};\vec{v})[/tex]

Jusqu'ici j'étais convaincu que le signe devant la parenthèse d'un angle orienté désignait le "sens de lecture" de l'angle, or si je suis mon idée
[tex] ( \vec{v}; \vec{u})=\frac{3\pi}{2} [/tex]
alors
[tex] -( \vec{u}; \vec{v})=\frac{-3\pi}{2} [/tex]
c'est deux angles sont différents...

Je me doute que je suis dans l'erreur mais où bloque mon raisonnement, le signe négatif ne sert pas à indiquer le sens de lecture ?
ou alors leur égalité désigne les valeurs absolues des angles ?

ou bien le signe moins désigne l'angle qui additionné à  [tex] ( \vec{u}; \vec{v}) [/tex] donne 0 modulo [tex]2\pi[/tex], ce qui du coup vérifie l'égalité, mais dans ce cas comment obtenir des angles avec un signe négatif ?

Merci d'avance pour le coup de main, je suppose que c'est d'un fondamental ultra bas mais j'aimerais comprendre..

Fred

Administrateur

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Re : angle orienté et signe négatif

Si
[tex] ( \vec{v}; \vec{u})=\frac{3\pi}{2} [/tex]
alors
[tex] ( \vec{u}; \vec{v})=\frac{-3\pi}{2} [/tex]
et non comme tu l'as écrit :
[tex] -( \vec{u}; \vec{v})=\frac{-3\pi}{2} [/tex]

tibo

Membre expert

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Re : angle orienté et signe négatif

Salut,

Pour visualiser un angle orienté, on peut manipuler des stylos.
Prend donc un stylo bleu, qui représentera le vecteur $\overrightarrow{u}$, et un stylo rouge, qui représentera le vecteur $\overrightarrow{v}$, et pose les sur ta table.

Le but est de faire tourner le stylo bleu pour que les deux stylos soient parallèles avec la pointe dans le même sens.
L'angle $(\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$ est exactement cet angle de rotation.

Sauf qu'il existe deux sens de rotation. Tu peux tourner ton stylo dans le sens des aiguilles d'une montre, ou alors dans le sens inverse.
Par convention, on a décidé que
- si tu tournes dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, c'est le sens positif ou sens direct, et
- si tu tournes dans le sens des aiguilles d'une montre, c'est le sens négatif ou sens indirect.

Par exemple, si on a $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\dfrac{\pi}{3}$, cela signifie que du vecteur $\overrightarrow{u}$ au vecteur $\overrightarrow{v}$, il faut tourner de 60° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Par contre, si on a $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=-\dfrac{\pi}{4}$, cela signifie que du vecteur $\overrightarrow{u}$ au vecteur $\overrightarrow{v}$, il faut tourner de 90° dans le sens des aiguilles d'une montre.

Mais ! (On complexifie légèrement) pour que tes stylos aient le même sens, tu pourrais très bien faire tourner ton stylo bleu 50 fois avant de lui donner la bonne orientation.
Par exemple, on peut avoir $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=\dfrac{13\pi}{3}=\dfrac{3\times 4\pi+\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}{3}$. Là on fait 2 tours avant de parcourir notre angle $\dfrac{\pi}{3}$.
Dans la pratique, on peut faire autant de tours supplémentaires que l'on veut, ça ne change rien à la position finale du stylo. C'est pour ça que l'on écrit toujours un angle modulo $2\pi$, qui signifie en fait $+2k\pi$, où $k$ est un entier relatif qui représente le nombre de tour que l'on fait (dans le sens direct si $k>0$ et dans le sens indirect si $k<0$).

Ces rappels faits, on arrive à ton problème :
L'angle $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})$ est l'angle à parcourir pour aller de $\overrightarrow{v}$ à $\overrightarrow{u}$.
On "voit" bien que la valeur absolue de cet angle va être le même que l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$.

Si de $\overrightarrow{u}$ à $\overrightarrow{v}$ il y a 60° à parcourir dans un sens (direct ou indirect), alors de $(\overrightarrow{v}$ à $\overrightarrow{u}$ il y a encore 60° à parcourir, mais dans l'autre sens !

Et c'est pour indiquer ce changement de sens que l'on met un $-$ :
$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=-(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})$

Donc si $(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})=\dfrac{2\pi}{3}$
Alors $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=-(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})=-\ \dfrac{2\pi}{3}$
Et du coup $-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})=-\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{2\pi}{3}=(\overrightarrow{v},\overrightarrow{u})$

[edit] Je n'avais pas vu la réponse de Fred... qui suffisait amplement...

Dernière modification par tibo (15-02-2017 15:12:52)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Fred

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Re : angle orienté et signe négatif

[edit] Je n'avais pas vu la réponse de Fred... qui suffisait amplement...

Je ne suis pas sûr, mais ne sachant me lancer dans une explication comme la tienne, je m'en suis tenu aux faits!