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Mathieu10

Invité

Serie lacunaire

Salut, pouvez vous me donner des idées concernant ce sujet:
Soit f(n) une extractrice et [tex](u_n)[/tex] une suite. On considere la serie lacunaire :
[tex]\sum_{n\geq 0}^{}{u_nx^{f(n)}}[/tex]

Pour calculer le rayon de convergence, est ce qu'on a le droit de le trouver de la facon suivante:
[tex]\frac{1}{R}=\lim_{n\rightarrow+ inf}\left|u_n \right| ^{\frac{1}{f(n)}}[/tex] ? Pourquoi?

Merci d'avance

Fred

Administrateur

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Messages : 7 047

Re : Serie lacunaire

Bonjour,

  Je pense que oui, et avec la même preuve que dans le cas classique. Si $\frac 1\rho>\lim_n |u_n|^{1/f(n)}$, alors
$$|u_n|\rho^{f(n)}=(|u_n|^{1/f(n)}\rho)^{f(n)}\leq (1-\delta)^{f(n)}\leq (1-\delta)^n$$
et donc la série est convergente. Si $\frac 1\rho<\lim_n |u_n|^{1/f(n)}$, alors $|u_n|\rho^{f(n)}$ ne tend pas vers 0...

F.